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Distância mínima entre dois móveis

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Mensagem por Soothsayer Qua 18 maio - 4:14

No instante t=0s, uma canoa e uma lancha passam, respectivamente, pelos pontos A e B de um lago, movendo-se com velocidades constantes Vc e Vl conforme mostra a figura. Determine qual será a mínima distância entre a canoa e a lancha e após quanto tempo elas estarão em tal situação.
Dados: alfa=beta= 60º, Vc= 40km/h, Vl = 80km/h, AB = 20 km.

Eu acho a imagem desnecessária, mas de qualquer forma, é assim que esta no livro
Distância mínima entre dois móveis Distanciaentredoismveis

A resposta é: 10km, 15min.

Meu raciocínio foi de que se alfa e beta valem 60º, o terceiro ângulo que será formado pelo cruzamento das trajetórias da canoa e da lancha também valerá 60º. Logo, tem-se um triângulo equilátero. Sendo equilátero, e um de seus lados 20km, ambos os dois outros lados valem 20km também.
Indo um passo adiante, a distância mínima entre a canoa e a lancha, será um reta perpendicular em relação a trajetória da lancha. Tenho assim, um triângulo retângulo, onde um dos catetos vale d, o outro y, e a hipotenusa x. Posso dizer então que x^2=d^2 + y^2.
O valor de x é uma parte dos 20km que ainda não foram percorridos pela canoa até o instante t, em que ela tem menor distância em relação a lancha. O mesmo vale para y em relação a lancha. Assim concluí que x=20-vc*t e y=20-vl*t

Distância mínima entre dois móveis Distanciaentredoismveis

Substitui estes valores de x e y na primeira equação (pitagórica), e desenvolvi, chegando à d^2=-t^2*4800 + t*1600
Para encontrar t, apliquei o valor mínimo de uma função do 2º, logo t=-b/2a. Cheguei ao valor de t=0.166...667h . Mas a resposta está em minutos. Multipliquei por 60, e cheguei ao valor de que t=10 min.
Quando errei t, não cheguei a tentar encontrar a distância, pois meu intuito era substituir t na fórmula d^2=-t^2*4800 + t*1600.

Desculpem-me se prolonguei demais, e desculpem também minhas imagens um tanto tortas.
De qualquer forma, ficaria imensamente grato se alguém aponta-se aonde está meu erro.

Soothsayer
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Mensagem por Elcioschin Qua 18 maio - 11:20

Seja t o tempo

No tempo t o móvel saiu de A e chegou em A' -----> AA' = 40*t
No tempo t o móvel saiu de B e chegou em B' -----> BB' = 80*t

No tempo t, o móvel que saiu de A andou para a direita ----> (40*cos60º)*t = 20*t
No tempo t, o móvel que saiu de B andou para a esquerda ----> (80*cos60º)*t = 40*t

Considere AB horizontal

A distância horizontal entre eles vale ----> 20 - 20*t - 40*t = 20 - 60*t

No tempo t, o móvel que saiu de A andou para cima na vertical ----> (40*sen60º)*t = 20*\/3*t
No tempo t, o móvel que saiu de B andou para cima na vertical ----> (80*sen60º)*t = 40*\/3*t

A distância vertical entre eles vale ----> 40*\/3*t - 20*\/3**t = 20*\/3*t

A distância real y entre eles é dada por:

y² = (20 - 60*t)² + (20*\/3*t)² ---> y² = 400 - 2400*t + 3600*t² + 1200*t² ---> y² = 4800*t² - 2400*t + 400

y²/400 = 12*t² - 6t + 1 ----> Função do 2º grau ----> Parábola com concavidade voltada para cima

O mínimo desta função ocorre no vértice ---> tV = - b/2a ---> tV = - (-6)/2*12 ---> tV = 1/4 h ---> tV = 15 min

y²/400 = 12*(1/4)² - 6*(1/4) + 1 ----> y²/400 = 3/4 - 3/2 + 1 ----> y²/400 = 1/4 ---> y² = 100 ----> y = 10 km


Uma correção necessária no seu português na última linha:

.... ficaria imensamente grato se alguém apontasse onde está meu erro.


O seu erro foi supor que, na distância mínima o ângulo vale 90º


Última edição por Elcioschin em Qua 18 maio - 21:25, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Euclides Qua 18 maio - 12:18

Distância mínima entre dois móveis Trokf


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Mensagem por Claudir Qua 7 maio - 0:12

Desenvolvi exatamente assim, mestre Euclides, só não soube determinar a distância mínima.
Poderia explicar como?

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Mensagem por Euclides Qua 7 maio - 0:46

Chegamos a uma equação do segundo grau na variável tempo (em horas) que exprime o quadrado da distância:



essa função tem a forma de uma parábola com a concavidade para cima, cujas coordenadas do vértice são (t, d²). Calculei t pela abscissa do vértice de uma parábola e d pode ser calculada aplicando-se o valor de t na expressão da parábola.

Distância mínima entre dois móveis 34nrz2h

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Mensagem por Claudir Qua 7 maio - 19:49

Perfeito. Deixei de notar que a equação da parábola envolvia ambas as incógnitas.
Obrigado!

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Mensagem por Takeshi2707 Sáb 8 Abr - 20:09

Apesar de essa questão ter sido postada faz tempo , alguém poderia me dizer se há algum erro no q eu fiz nessa questão? Eu adotei a canoa como referencial , mas eu achei muito forçado a maneira q eu cheguei na distância mínima.Distância mínima entre dois móveis 20170411

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Mensagem por edenschin Seg 25 Set - 23:31

Takeshi, a soma dos ângulos do seu triângulo está dando 210 graus. Você admitiu que o ângulo de 60 graus, que está no vértice superior, é de 90 graus.

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Mensagem por EstudanteCiencias Dom 22 Dez - 22:45

"O seu erro foi supor que, na distância mínima o ângulo vale 90º"


Galera. Entendi a solucao analitica! Mas nao entendi por que ao usar velocidade relativa, nao poderiamos assumir que no angulo 90 teriamos a distancia minima. Alguem poderia esclarecer? 
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Mensagem por Elcioschin Seg 23 Dez - 12:53

Infelizmente a figura não está mais disponível. Caso a tenha, poste, por favor.
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