Distância mínima entre dois móveis
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Euclides
Elcioschin
Soothsayer
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Distância mínima entre dois móveis
No instante t=0s, uma canoa e uma lancha passam, respectivamente, pelos pontos A e B de um lago, movendo-se com velocidades constantes Vc e Vl conforme mostra a figura. Determine qual será a mínima distância entre a canoa e a lancha e após quanto tempo elas estarão em tal situação.
Dados: alfa=beta= 60º, Vc= 40km/h, Vl = 80km/h, AB = 20 km.
Eu acho a imagem desnecessária, mas de qualquer forma, é assim que esta no livro
A resposta é: 10km, 15min.
Meu raciocínio foi de que se alfa e beta valem 60º, o terceiro ângulo que será formado pelo cruzamento das trajetórias da canoa e da lancha também valerá 60º. Logo, tem-se um triângulo equilátero. Sendo equilátero, e um de seus lados 20km, ambos os dois outros lados valem 20km também.
Indo um passo adiante, a distância mínima entre a canoa e a lancha, será um reta perpendicular em relação a trajetória da lancha. Tenho assim, um triângulo retângulo, onde um dos catetos vale d, o outro y, e a hipotenusa x. Posso dizer então que x^2=d^2 + y^2.
O valor de x é uma parte dos 20km que ainda não foram percorridos pela canoa até o instante t, em que ela tem menor distância em relação a lancha. O mesmo vale para y em relação a lancha. Assim concluí que x=20-vc*t e y=20-vl*t
Substitui estes valores de x e y na primeira equação (pitagórica), e desenvolvi, chegando à d^2=-t^2*4800 + t*1600
Para encontrar t, apliquei o valor mínimo de uma função do 2º, logo t=-b/2a. Cheguei ao valor de t=0.166...667h . Mas a resposta está em minutos. Multipliquei por 60, e cheguei ao valor de que t=10 min.
Quando errei t, não cheguei a tentar encontrar a distância, pois meu intuito era substituir t na fórmula d^2=-t^2*4800 + t*1600.
Desculpem-me se prolonguei demais, e desculpem também minhas imagens um tanto tortas.
De qualquer forma, ficaria imensamente grato se alguém aponta-se aonde está meu erro.
Dados: alfa=beta= 60º, Vc= 40km/h, Vl = 80km/h, AB = 20 km.
Eu acho a imagem desnecessária, mas de qualquer forma, é assim que esta no livro
A resposta é: 10km, 15min.
Meu raciocínio foi de que se alfa e beta valem 60º, o terceiro ângulo que será formado pelo cruzamento das trajetórias da canoa e da lancha também valerá 60º. Logo, tem-se um triângulo equilátero. Sendo equilátero, e um de seus lados 20km, ambos os dois outros lados valem 20km também.
Indo um passo adiante, a distância mínima entre a canoa e a lancha, será um reta perpendicular em relação a trajetória da lancha. Tenho assim, um triângulo retângulo, onde um dos catetos vale d, o outro y, e a hipotenusa x. Posso dizer então que x^2=d^2 + y^2.
O valor de x é uma parte dos 20km que ainda não foram percorridos pela canoa até o instante t, em que ela tem menor distância em relação a lancha. O mesmo vale para y em relação a lancha. Assim concluí que x=20-vc*t e y=20-vl*t
Substitui estes valores de x e y na primeira equação (pitagórica), e desenvolvi, chegando à d^2=-t^2*4800 + t*1600
Para encontrar t, apliquei o valor mínimo de uma função do 2º, logo t=-b/2a. Cheguei ao valor de t=0.166...667h . Mas a resposta está em minutos. Multipliquei por 60, e cheguei ao valor de que t=10 min.
Quando errei t, não cheguei a tentar encontrar a distância, pois meu intuito era substituir t na fórmula d^2=-t^2*4800 + t*1600.
Desculpem-me se prolonguei demais, e desculpem também minhas imagens um tanto tortas.
De qualquer forma, ficaria imensamente grato se alguém aponta-se aonde está meu erro.
Soothsayer- Iniciante
- Mensagens : 3
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Localização : São Paulo, SP, Brasil
Re: Distância mínima entre dois móveis
Seja t o tempo
No tempo t o móvel saiu de A e chegou em A' -----> AA' = 40*t
No tempo t o móvel saiu de B e chegou em B' -----> BB' = 80*t
No tempo t, o móvel que saiu de A andou para a direita ----> (40*cos60º)*t = 20*t
No tempo t, o móvel que saiu de B andou para a esquerda ----> (80*cos60º)*t = 40*t
Considere AB horizontal
A distância horizontal entre eles vale ----> 20 - 20*t - 40*t = 20 - 60*t
No tempo t, o móvel que saiu de A andou para cima na vertical ----> (40*sen60º)*t = 20*\/3*t
No tempo t, o móvel que saiu de B andou para cima na vertical ----> (80*sen60º)*t = 40*\/3*t
A distância vertical entre eles vale ----> 40*\/3*t - 20*\/3**t = 20*\/3*t
A distância real y entre eles é dada por:
y² = (20 - 60*t)² + (20*\/3*t)² ---> y² = 400 - 2400*t + 3600*t² + 1200*t² ---> y² = 4800*t² - 2400*t + 400
y²/400 = 12*t² - 6t + 1 ----> Função do 2º grau ----> Parábola com concavidade voltada para cima
O mínimo desta função ocorre no vértice ---> tV = - b/2a ---> tV = - (-6)/2*12 ---> tV = 1/4 h ---> tV = 15 min
y²/400 = 12*(1/4)² - 6*(1/4) + 1 ----> y²/400 = 3/4 - 3/2 + 1 ----> y²/400 = 1/4 ---> y² = 100 ----> y = 10 km
Uma correção necessária no seu português na última linha:
.... ficaria imensamente grato se alguém apontasse onde está meu erro.
O seu erro foi supor que, na distância mínima o ângulo vale 90º
No tempo t o móvel saiu de A e chegou em A' -----> AA' = 40*t
No tempo t o móvel saiu de B e chegou em B' -----> BB' = 80*t
No tempo t, o móvel que saiu de A andou para a direita ----> (40*cos60º)*t = 20*t
No tempo t, o móvel que saiu de B andou para a esquerda ----> (80*cos60º)*t = 40*t
Considere AB horizontal
A distância horizontal entre eles vale ----> 20 - 20*t - 40*t = 20 - 60*t
No tempo t, o móvel que saiu de A andou para cima na vertical ----> (40*sen60º)*t = 20*\/3*t
No tempo t, o móvel que saiu de B andou para cima na vertical ----> (80*sen60º)*t = 40*\/3*t
A distância vertical entre eles vale ----> 40*\/3*t - 20*\/3**t = 20*\/3*t
A distância real y entre eles é dada por:
y² = (20 - 60*t)² + (20*\/3*t)² ---> y² = 400 - 2400*t + 3600*t² + 1200*t² ---> y² = 4800*t² - 2400*t + 400
y²/400 = 12*t² - 6t + 1 ----> Função do 2º grau ----> Parábola com concavidade voltada para cima
O mínimo desta função ocorre no vértice ---> tV = - b/2a ---> tV = - (-6)/2*12 ---> tV = 1/4 h ---> tV = 15 min
y²/400 = 12*(1/4)² - 6*(1/4) + 1 ----> y²/400 = 3/4 - 3/2 + 1 ----> y²/400 = 1/4 ---> y² = 100 ----> y = 10 km
Uma correção necessária no seu português na última linha:
.... ficaria imensamente grato se alguém apontasse onde está meu erro.
O seu erro foi supor que, na distância mínima o ângulo vale 90º
Última edição por Elcioschin em Qua 18 maio - 21:25, editado 1 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/09/2009
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Localização : Santos/SP
Re: Distância mínima entre dois móveis
____________________________________________
In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
- Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: Distância mínima entre dois móveis
Desenvolvi exatamente assim, mestre Euclides, só não soube determinar a distância mínima.
Poderia explicar como?
Poderia explicar como?
____________________________________________
"Death is so terribly final, while life is full of possibilities." - Tyrion Lannister
Re: Distância mínima entre dois móveis
Chegamos a uma equação do segundo grau na variável tempo (em horas) que exprime o quadrado da distância:
essa função tem a forma de uma parábola com a concavidade para cima, cujas coordenadas do vértice são (t, d²). Calculei t pela abscissa do vértice de uma parábola e d pode ser calculada aplicando-se o valor de t na expressão da parábola.
essa função tem a forma de uma parábola com a concavidade para cima, cujas coordenadas do vértice são (t, d²). Calculei t pela abscissa do vértice de uma parábola e d pode ser calculada aplicando-se o valor de t na expressão da parábola.
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
- Mensagens : 32508
Data de inscrição : 07/07/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: Distância mínima entre dois móveis
Perfeito. Deixei de notar que a equação da parábola envolvia ambas as incógnitas.
Obrigado!
Obrigado!
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Takeshi2707- Iniciante
- Mensagens : 40
Data de inscrição : 01/07/2016
Idade : 24
Localização : Canoas-RS-Brasil
Re: Distância mínima entre dois móveis
Takeshi, a soma dos ângulos do seu triângulo está dando 210 graus. Você admitiu que o ângulo de 60 graus, que está no vértice superior, é de 90 graus.
edenschin- Iniciante
- Mensagens : 2
Data de inscrição : 25/09/2017
Idade : 33
Localização : São Paulo - SP
Re: Distância mínima entre dois móveis
"O seu erro foi supor que, na distância mínima o ângulo vale 90º"
Galera. Entendi a solucao analitica! Mas nao entendi por que ao usar velocidade relativa, nao poderiamos assumir que no angulo 90 teriamos a distancia minima. Alguem poderia esclarecer?
Galera. Entendi a solucao analitica! Mas nao entendi por que ao usar velocidade relativa, nao poderiamos assumir que no angulo 90 teriamos a distancia minima. Alguem poderia esclarecer?
EstudanteCiencias- Jedi
- Mensagens : 358
Data de inscrição : 17/07/2016
Idade : 24
Localização : Salvador - Bahia
Re: Distância mínima entre dois móveis
Infelizmente a figura não está mais disponível. Caso a tenha, poste, por favor.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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