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por Cesconetto Dom 21 Out 2012, 15:56

A igualdade tg (x) = a . cotg (x) + b . cotg (2x) é válida para todo x real tal que x ≠ (k∏)/2. Determine a e b.

Agradecido.

por **Robson Jr.** Dom 21 Out 2012, 17:51

A restrição $\small x \neq \frac{k\pi}{2}$ garante a existência de tangente e cotangente.

$\small tg(x)=\frac{a}{tg(x)}+\frac{b}{tg(2x)} \\\\ \Rightarrow \ tg^2(x)=a+b\frac{tg(x)}{\frac{2tg(x)}{1-tg^2(x)}} \\\\ \Rightarrow \ tg^2(x)=a+b\frac{1-tg^2(x)}{2} \\\\ \Rightarrow \ (2+b)tg^2(x)=2a+b$

Se a igualdade acima vale para todo x real, há infinitas raízes e, logo, devemos ter um polinômio identicamente nulo.

$\small \left\{\begin{matrix} 2+b=0\\ 2a+b=0 \end{matrix}\right. \Rightarrow a=1; \ b=-2$

por Cesconetto Dom 21 Out 2012, 18:21

A segunda equação do sistema seria 2a + b = 0, a = 1.

Desenvolvi corretamente a equação, cheguei até tg (x) = √[(2a + b)/(2 + b)] e então parei. Não imaginei que a saída fosse igualar a zero.

Obrigado pela resposta.

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