OMERJ 2010-Nível 4-Geometria analítica

Seja o número de polígonos convexos com n vértices no plano cartesiano, tais que:
(i) todos seus vértices têm coordenadas inteiras;
(ii) os pontos (0,1) e (1,0) são vértices consecutivos;
(iii) (0,0) é o único ponto de coordenadas inteiras no interior do polígono.
Determine a3, a4 e a5.
Observação: Os lados do polígono não fazem parte do seu interior.

Das condições (i) e (iii), segue que todos os possíveis vértices são estes:



Para a = 3:

Um triângulo será formado ao escolher um dos 6 pontos possíveis. Nenhuma escolha contraria (ii), mas só se cumpre (iii) ao usar (-1, -1) como terceiro vértice.



Para a = 4:

Um quadrilátero será formado ao escolher dois dos pontos possíveis. Caso se escolha o ponto (1,1), a condição (ii) deixará de valer.

Excetuando-se (1,1) e selecionando dois dos cinco pontos restantes:



Se os vértices escolhidos forem {(-1,1); (-1,0)} ou {(1,-1); (0,-1)}, (iii) deixará de valer.



Para a = 5

Um pentágono será formado ao escolher três dos pontos possíveis. Analogamente ao caso anterior, a escolha de (1,1) invalida a condição (ii). Não há, porém, problemas com (iii) neste caso.

Excetuando-se (1,1) e selecionando três dos cinco pontos restantes: