geometria analitica

dados os planos ∏1 = x-y+z+4=0, ∏2 = x+y+z+4=0 e ∏3 = x+2y+2z+8=0, determine:
a) a distância e o angulo entre ∏1 e ∏2.
b) a equação cartesiana do plano β que contém ∏1 ∩ ∏2, e é perpendicular a ∏3.

O sistema de coordenadas é ortogonal? Se sim:

a) Repare que os planos π1 e π2 não são paralelos, logo, são transversais. Não faz sentido falar em distancia entre os mesmos (logicamente, será zero).

O ângulo entre os planos (α) será dado por:
α=arc cos(n1.n2/||n1||.||n2||
n1=(1,-1,1) <-> ||n1||=sqrt(3)
n2=(1,1,1) <-> ||n2||=sqrt(3)
Assim:
α=arc cos(1-1+1/3)=arc cos(1/3)

b) Dois planos são perpendiculares se e somente se o produto escalar dos seus vetores normais forem zero.
Sendo a e b dois escalares, a equação do plano β é:
a(x-y+z+4)+b(x+y+z+4)=0
x(a+b)+y(b-a)+z(a+b)+4(a+b)=0
n4 é o vetor normal ao plano β
n4=(a+b, b-a , a+b)

n3 é normal ao plano π3
n3=(1,2,2)
n3.n4=0
a+b+2b-2a+2a+2b=0
a+5b=0
a=-5b
Sendo b=1 -> a=-5

Assim:
β: x(a+b)+y(b-a)+z(a+b)+4(a+b)=0
β :-4x+6y-4z-16=0
β : 2x-3y+2z+8=0

Espero que ajude e seja isso.