Função Polinomial e Números Complexos
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Função Polinomial e Números Complexos
por TARDIS Qua 10 Out 2012, 20:07
Se f é uma função polinomial com todos os coeficientes reais e se f(1+i)=2+3i, então, quanto vale f(1-i)?
TARDIS- Iniciante
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Re: Função Polinomial e Números Complexos
por Robson Jr. Qua 10 Out 2012, 22:30
Seja f(x) uma polinomial genérica da forma:
=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 "\small f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0")
Da igualdade entre os conjugados, vem:
}=\overline{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0} \\\\ \Leftrightarrow \ \overline{f(x)}=\overline{a_n}.\overline{x^n}+\overline{a_{n-1}}.\overline{x^{n-1}}+...+\overline{a_1}.\overline{x}+\overline{a_0} \\\\ \Leftrightarrow \ \overline{f(x)}= \overline{a_n}.(\overline{x})^n+\overline{a_{n-1}}.\overline{x}^{n-1}+...+\overline{a_1}.\overline{x}+\overline{a_0} \\\\ "\small \overline{f(x)}=\overline{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0} \\\\ \Leftrightarrow \ \overline{f(x)}=\overline{a_n}.\overline{x^n}+\overline{a_{n-1}}.\overline{x^{n-1}}+...+\overline{a_1}.\overline{x}+\overline{a_0} \\\\ \Leftrightarrow \ \overline{f(x)}= \overline{a_n}.(\overline{x})^n+\overline{a_{n-1}}.\overline{x}^{n-1}+...+\overline{a_1}.\overline{x}+\overline{a_0} \\\\")
Mas se os coeficientes pertencem aos reais, eles são idênticos aos seus respectivos conjugados:
}=a_n(\overline{x})^n+a_{n-1}(\overline{x})^{n-1}+...+a_1(\overline{x})+a_0 \\\\ \Leftrightarrow \ {\color{Blue} \overline{f(x)}=f(\overline{x})} "\small \overline{f(x)}=a_n(\overline{x})^n+a_{n-1}(\overline{x})^{n-1}+...+a_1(\overline{x})+a_0 \\\\ \Leftrightarrow \ {\color{Blue} \overline{f(x)}=f(\overline{x})}")
Com o trecho em azul devidamente justificado:
}=\overline{2+3i} \Rightarrow f(\overline{1+i})=2-3i \Rightarrow f(1-i)=2-3i "\small \overline{f(1+i)}=\overline{2+3i} \Rightarrow f(\overline{1+i})=2-3i \Rightarrow f(1-i)=2-3i")
Sugestão: Guarde o trecho em azul com carinho, não esquecendo do pré-requisito "coeficientes reais".
Da igualdade entre os conjugados, vem:
Mas se os coeficientes pertencem aos reais, eles são idênticos aos seus respectivos conjugados:
Com o trecho em azul devidamente justificado:
Sugestão: Guarde o trecho em azul com carinho, não esquecendo do pré-requisito "coeficientes reais".
Robson Jr.- Fera
- Mensagens : 1263
Data de inscrição : 24/06/2012
Idade : 30
Localização : Rio de Janeiro, RJ
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