sistema linear indeterminado

por puiff Qua 10 Out 2012, 16:02

Desenvolva o seguinte sistema pela forma do escalonamento:

x+2y-z=1
3x-6y+3z=5
5x-2y+z=7

o gabarito é : 4/3; k/2-(1/6)k ; k

eu desenvolvi o exercício mas cheguei na seguinte matriz:

$\begin{matrix} 1 &2 &-1 &1 \\ 0& 1 & 0 &-\frac{1}{6} \\ 0&0 &4 & 0 \end{matrix}$

disso não consegui encontrar o suposto resultado do gabarito, alguém poderia me ajudar?

por danjr5 Qua 10 Out 2012, 19:18

Olá Puiff,
boa noite!

$\\ \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 3x - 6y + 3z = 5 \\ 5x - 2y + z = 7 \end{cases} \\\\\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 1 & | & 1 \\ 3 & - 6 & 3 & | & 5 \\ 5 & - 2 & 1 & | & 7 \end{bmatrix} = \\\\\\$

Multiplique a primeira linha por - 3 e soma com a segunda linha: $\boxed{- 3L_1 + L_2}$

Multiplique a primeira linha por - 5 e soma com a terceira linha: $\boxed{- 5L_1 + L_3}$

Teremos:

$\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 1 & | & 1 \\ 0 & - 12 & 6 & | & 2 \\ 0 & - 12 & 6 & | & 2 \end{bmatrix} = \\\\\\$

Façamos agora $\boxed{- L_2 + L_3}$ , portanto,

$\\ \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 1 & | & 1 \\ 0 & - 12 & 6 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} = \\\\\\ \begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ - 12y + 6z = 2 \end{cases}$

Consideremos $\boxed{\boxed{z = k}}$ , $k$ uma variável qualquer. Resta-nos encontrar $x$ e $y$ .

I)
$\\ - 12y + 6z = 2 \\ 12y = 6k + 2 \\ 6y = 3k + 1 \\\\ \boxed{\boxed{y = \frac{3k + 1}{6}}}$

II)
$\\ x + 2y - z = 1 \\ x = - 2y + z + 1 \\\\ x = - \frac{3k + 1}{3} + 1 \\\\ \boxed{\boxed{x = \frac{4}{3}}}$

Espero ter ajudado!

Daniel F.