Sistema Compativel

por **alissonsep** Qua 26 Set 2012, 01:33

Determine os valores a e b que tornam o sistema compativel e determinado. Em seguida resolver os sistema.

$\left\{\begin{matrix} 3x-7y=a\\x+y=b \\ 5x+3y=5a+2b\\x+2y=a+b-1 \end{matrix}\right.$

Agradeço.

por **Robson Jr.** Qua 26 Set 2012, 11:30

Os coeficientes das duas primeiras equações constituem um determinante principal (não-nulo) do sistema.

$\Delta_p= \begin{vmatrix} 3 &-7 \\ 1 &1 \end{vmatrix}$

Para que o sistema seja compatível e determinado, duas condições precisam ser cumpridas:

● A ordem do determinante principal deve ser igual ao número de incógnitas;
● Todos os determinantes característicos devem ser nulos.

A condição primeira já foi cumprida; tratemos da segunda.

Determinante característico relativo a terceira equação:

$\delta_3= \begin{vmatrix} 3 &-7 &a \\ 1 &1 &b \\ 5 &3 &5a+2b \end{vmatrix}=0 \\\\\\ \Rightarrow \ 15a+6b+3a-35b-5a-9b+35a+14b=0 \\ \Rightarrow \ 48a-24b=0 \\ \Rightarrow \ 2a=b$

Determinante característico relativo a quarta equação:

$\delta_4= \begin{vmatrix} 3 &-7 &a \\ 1 &1 &b \\ 1 &2 &a+b-1 \end{vmatrix}=0 \\\\\\ \Rightarrow \ 3a+3b-3+2a-7b-a-6b+7a+7b-7=0 \\ \Rightarrow \ 11a-3b-10=0 \\ \Rightarrow \ 11a-3b=10$

Não há mais determinantes característicos. Resolvendo o sistema obtido:

$\left\{\begin{matrix} 2a=b\\ 11a-3b=10 \end{matrix}\right. \Rightarrow {\color{Red} a=2}, \ {\color{Red} b=4}$

Cumpridas as condições, basta escolher duas equações do sistema inicial e resolvê-las. Digamos as duas primeiras.

$\left\{\begin{matrix} 3x-7y=2\\ x+y=4 \end{matrix}\right. \Rightarrow {\color{Red} x=3}; \ {\color{Red} y=1}$

Amigo alisson, na solução usei Rouché-Capelli, que é um método geral para discussão de sistemas com nº qualquer de equações e incógnitas. Algum amigo do fórum certamente irá propor uma solução alternativa, mas recomendo fortemente o domínio dessa técnica...

por **alissonsep** Qua 26 Set 2012, 12:12

Amigo, fico muito grato pela ajuda. Procurei na internet sob esse metodo e não encontrei algo muito esclarecedor, se puderes indicarum link, ficarei ainda mais grato.

Very Happy