Função

Seja uma função tal que: f(a + b) = f(a) + f(b), ∀a, b ∈ ℝ.
Julgue os seguintes itens:
A) f(0) = 0
B) f(–1) = f(1)
C) f é uma função par.

Olá! Boa noite.

Pensei assim:

1º Considere a= A + B e b= -A-B

Então: f(a+b) = f(A+B -A-B) = f(A-A +B-B)=f(0) = f(A-A)+f(B-B) = 2f (0)
f(0)=2f(0), logo: f(0) = 0 ...A) Verdadeira

B) Aqui, considerei: a= 1 e b=-1.
.: f(a+b) = f(1-1)= f(1) + f(-1)=f(0) = 0 .: f(1) = - f(-1) .: B)Falsa

C) f(a-a) = f(0) = 0 =f(a)+f(-a) .: f(a)=-f(-a) .: f é função ímpar. Então: C) Falsa

Bem, eu acho que é isso. Não sei se essas respostas coincidem com as do gabarito...confere?

A)Fazendo A=a e B=0

f(A+B) = f(A) + f(B)
f(a+0) = f(a) +f(0)
Sabemos que 0 é o elemento neutro da adição
logo:
f(a) = f(a) +f(0)
Adicionando -f(a) em ambos os lados da equação
f(a) -f(a) = f(a) -f(a) +f(0)
0 = 0 +f(0)
logo
f(0)=0
Conclusão: Verdadeira

B) Fazendo A=-1 e B=1
f(A+B) = f(A) + f(B)
f(-1+1) = f(1) +f(-1)
f(0) = f(1) + f(-1)
f(0)=0 como demonstrado no item anterior
logo
0=f(1)+f(-1)
-f(-1)=f(1)

Conclusão: Falsa

C) Primeiramente precisamos saber as características de uma função par
Seja f uma função definida nos reais . Dizemos que ela é "função par" se, para todo x
f(-x) = f(x)

fazendo A=a e B=-a
f(A+B) = f(A) + f(B)
f(a-a) = f(a) + f(-a)
f(0) = f(a) + f(-a)
0 = f(a) + f(-a)
f(a) = -f(-a)
Não bate com a nossa definição
Conclusão : Falsa