Calcular os ângulos ADC e BEC

por Nat' Qui 20 Set 2012, 15:54

Dado o ∆ ABC, tal que $\hat{B}= 30^{\circ}$ e $\hat{C}= 80^{\circ}$ , transportam-se sobre AB os comprimentos AD e AE, iguais a AC. Depois ligam-se os pontos E e D a C. Calcular os ângulos $A\hat{D}C$ e $B\hat{E}C$ .
Resp. 55° e 35°

por danjr5 Ter 02 Out 2012, 20:28

Nat',
boa noite!

Como $\boxed{\hat{C} > \hat{B}}$ , temos que $\boxed{\overline{AB} = \overline{AC}}$ ;

Então, podemos marcar o ponto $D$ no segmento $AB$ de modo que $\boxed{\overline{AD} = \overline{AC}}$ ;

Já o ponto $E$ , devemos prolongar a semi-reta $AB$ , de modo que $\boxed{\overline{AE} = \overline{AC}}$ ;

Ligando os pontos $E, D \,\, e \,\, C$ , temos:

O $\Delta ADC$ e o $\Delta ACE$ são isósceles.

Uma vez que,
$\\ \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^o \\ \boxed{\hat{A} = 70^o}$

Temos:

$\\ A\hat{D}C + D\hat{C}A + C\hat{A}D = 180^o \\ A\hat{D}C + A\hat{D}C + 70^o = 180^o \\ \boxed{\boxed{A\hat{D}C = 55^o}}$

Do Teorema do Ângulo Externo, segue que:

$\\ C\hat{A}D = A\hat{E}C + A\hat{C}E \\\\ 70^o = A\hat{E}C + A\hat{C}E \\\\ A\hat{E}C + A\hat{E}C = 70^o \\\\ A\hat{E}C = 35^o \\\\ \boxed{A\hat{E}C = \boxed{B\hat{E}C = 35^o}}$

Espero que ajude!