Pentágono regular

ABCDE é um pentágono regular cujo lado mede 3 cm. Calcular o lado do pentágono regular, que se obtém traçando as diagonais do pentágono ABCDE.
Resp. (3-V5). L/2

Bom dia Nat,

Vejo uma resolução para este problema , mas não estou seguro de que seja a mais prática.

Desenhe um pentágono regular e ligue os seus vértice. Chamemos de L o lado do pentágono formado ( não sei o nome dessa figura).

Observe que esse lado é a base de um triângulo isósceles de ângulos 36°/36° e 108° . Esse ângulo de 108° foi calculado usando a fórmula ai(5)=(n-2)*180/n.

Quando traçamos a altura desse triângulo isósceles ficam formados dois triângulos retângulos de ângulos 36°/54º/90°.

Trabalhando com um desses triângulos temos : cos 36°=(L/2)/3 (I)
Veja neste POST o problema em que calculamos o cos de 36° a partir do lado do decágono inscrito que é: (V5 + 1)/4
Então , substituindo em (I) o valor do cos de 36° teremos:(V5 + 1 )/4 = (L/2)/3

L=(3V5 + 1)/2

Att

Raimundo,
Por favor, tem como você postar a figura, ou então me explicar novamente essa parte " chamemos de L o lado do pentágono formado ( não sei o nome dessa figura)", não entendi muito bem...
Obrigada! ^^

Olá Nat ,

Com BOA VONTADE, admitamos que a figura acima seja um pentágono regular de lado DE=3

O lado do pentágono que queremos, é o da estrela onde um dos lados é AE.

Trabalhando com o Triângulo ADE, tracemos a sua altura DF.

O ângulo interno Ê do pentágono=108°, e o ângulo DÊF do triângulo DFE é 108º/3=36°.

No cálculo da nossa resolução ,trabalhamos com o triângulo retângulo DFE e fizemos cos 36°=(L/2)/3

sendo L/2= cateto EF= metade do lado que estamos procurando, e 3(hipotenusa) = o lado DE .

Att

Raimundo, muito obrigada pela ajuda!

blz!

Olá Nat,
Esta resolução não está correta. Interpretei mal o enunciado. Na verdade temos que calcular o lado do pentágono que ficou formado pelas diagonais(em outras palavras, o pentágono que ficou dentro do pentágono grande. Estou tentando resolver.
ATT

Eu tinha entendido que era o lado do pentágono do meio, só que como tentei resolver de várias maneiras e a resposta não bateu de jeito nenhum com o gabarito, achei que eu tivesse interpretado errado...

Iago,
Mas... O enunciado pede o lado do pentágono interno formado pelas diagonais de ABCDE...
Você poderia me dizer como você sabia que o lado do pentágono AFBGH era igual ao lado do pentágono interno??