Pentágono Regular

Em um pentágono regular ABCDE, as diagonais AC e BE se cruzam no ponto P, calcular PD; se: PC=4 m.
R:Dois radical duplo de dez menos dois raiz quadrada de cinco.

Inscrevi o pentágono numa circunferência para facilitar a marcação dos ângulos (cada arco delimitado pelos lados do pentágono vale 72º)

Marcando os ângulos, vemos que o triângulo PAB é isósceles, com PA = PB. Repare nos triângulos PAE e PCB --> são congruentes (LAL). Assim, PE = PC = 4. Repare nos triângulos DEP e DPC --> são congruentes. Assim os ângulos E^DP e P^DC (ângulos em laranja) são iguais -> 2a = 108 -> a = 54º. Pela soma dos ângulos internos, temos que o ângulo D^PC também mede 54º e, assim, o triângulo DPC é isósceles de base x, e L = 4

É bom lembrar que sen 18 = (V5 - 1)/4. Sabendo que sen x = cos (90-x), temos que o cos 72 = sen 18 = (V5 - 1)/4. Fazendo a lei dos cossenos no triângulo DPC:

Uma resolução sem usar trigonometria (para quem não lembra o sen18°).