vértices do quadrado

por jessicajessica Dom 16 Set 2012, 15:55

Dados dois vértices consecutivos A(2;0) e B(-1;4) de um quadrado, determinar as equações das retas que contém os seus lados.

resposta:de um deles: 4x+3y-8=0; 4x+3Y+17=0; 3x-4y-6=0; 3x-4y+19=0

do outro: 4x+3y-8=0; 4x+3y-33=0; 3x-4y-6=0; 3x-4y+19=0

por **Giiovanna** Dom 16 Set 2012, 17:15

Oi!

Veja o a imagem:
vértices do quadrado 1347826052938

Perceba que AB//DC e BD//AC
A coordenada dos pontos A(2,0) e B(-1,4) nos permite encontrar o coeficiente angular que é -4/3.
Como a figura é um quadrado, a reta AB é perpendicular a BD e a AC. Logo, o coeficiente mAB.mBD = -1

Concluimos, portanto, que mBD = mAC = 3/4
e mBA = mDC = -4/3 (retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular, lembra?)

Para acharmos as coordenadas do ponto C eu fiz uma semelhança de triângulos. Veja que na direita temos o triangulo 3,4 e 5. Pelo uso de ângulos genéricos alpha e beta, achei outro triangulo em que a hipotenusa é AC. Para descobrir que eles são semelhantes, basta ver que alpha + 90 é o angulo externo do triângulo a direita, Sendo assim, encontramos um triangulo semelhante de mesmas medidas 3,4 e 5 logo abaixo do quadrado. Pela medidas dos catetos, conclui-se que as coordenadas do ponto C(6,3).

Agora que você sabe as coordenadas de 3 pontos, pode aplicar a equação da reta para as três arestas: y-yo= m(x-xo)

Para a reta AB, use mAB e o ponto A ou B
Para a reta AC, use mAC e o ponto A ou C
Para a reta BD, use mBD e o ponto B
Para a reta DC, use mDC e o ponto C

Chega-se a segunda resposta. Qualquer dúvida, só perguntar Smile

por William Carlos Dom 16 Set 2012, 18:11

Olá!

$\begin{vmatrix} x &y &1 \\ 2& 0 &1 \\ -1& 4&1 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} x &y \\ 2&0 \\ -1&4 \end{matrix}\right|=-y+8-2y-4x=0\rightarrow -3y-4x+8=0\rightarrow y=\frac{-4x}{3}+\frac{8}{3}$

Sendo esta a equação da reta AB, e tendo coeficiente angular igual a:m=-4/3.

A reta BC é perpendicular a reta AB,portanto ela tem coeficiente angular igual a:

$\frac{-1}{m}=\frac{-1}{\frac{-4}{3}}=\frac{3}{4}$

O ponto B(-1,4), pertence a reta BC portanto.

$y-yo=m(x-xo)\rightarrow y-4=\frac{3}{4}(x+1)\rightarrow y=\frac{3x}{4}+\frac{19}{4}$

O ponto C vai ter como coordenadas.
(x, $\frac{3x}{4}+\frac{19}{4}$ )

Encontramos agora a medida do lado do quadrado.

$d=\sqrt{(2+1)^{2}+(4)^{2}}\rightarrow d=5$

Encontramos assim o valor de x.

$25=(x+1)^{2}+\left ( \frac{3x}{4}+\frac{19}{4}-4 \right )^{2}\rightarrow 25=x^{2}+2x+1+\frac{9x^{2}}{16}+\frac{18x}{16}+\frac{9}{16}\rightarrow 25=\frac{25x^{2}}{16}+\frac{50x}{16}+\frac{25}{16}\rightarrow 400=25x^{2}+50x+25\rightarrow 25x^{2}+50x-375\rightarrow x^{2}+2x-15=0$

$\Delta =4+60=64\\x=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2+8}{2}=3\\x'=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-2-8}{2}=-5$

C(3,7)
C(-5,1)

Portanto a equação da reta BC vale.

$\begin{vmatrix} x &y &1 \\ -1&4 &1 \\ 3& 7 &1 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} x &y \\ -1&4 \\ 3&7 \end{matrix}\right|=4x+3y-7+y-7x-12=-3x+4y-19=0$

$\begin{vmatrix} x &y &1 \\ -1&4 &1 \\ -5&1 &1 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} x &y \\ -1&4 \\ -5&1 \end{matrix}\right|=4x-5y-1+y-x+20=3x-4y+19=0$

Fazemos o mesmo procedimento para encontrar o vértice D.

A reta AD tem coeficiente angular igual a 3/4.
O ponto a pertence a reta AD.

$y-yo=m(x-xo)\rightarrow y=\frac{3}{4}(x-2)\rightarrow y=\frac{3x}{4}-\frac{6}{4}\rightarrow y=\frac{3x}{4}-\frac{3}{2}$

As coordenadas do ponto D:
D(x, $\frac{3x}{4}-\frac{3}{2}$ )

$25=(x-2)^{2}+\left ( \frac{3x}{4}-\frac{3}{2} \right )^{2}\rightarrow 25=x^{2}-4x+4+\frac{9x^{2}}{16}-\frac{18x}{8}+\frac{9}{4}\rightarrow 25=\frac{25x^{2}}{16}-\frac{50x}{8}+\frac{25}{4}=25\rightarrow 25x^{2}-100x-300=0\rightarrow x^{2}-4x-12=0$

$\Delta =16+48=64\\x=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{4+8}{2}=6\\x'=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{4-8}{2}=-2$

D(6,3)
D(-2,-3)

Portanto a equação da reta AD vale.

$\begin{vmatrix} x &y &1 \\ 6&3 &1 \\ 2&0 &1 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} x &y \\ 6&3 \\ 2&0 \end{matrix}\right|=3x+2y-6y-6=3x-4y-6=0$

$\begin{vmatrix} x &y &1 \\ -2&-3 &1 \\ 2&0 &1 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} x &y \\ -2&-3 \\ 2&0 \end{matrix}\right|=-3x+2y+2y+6=-3x+4y+6=0$

Reta CD.

$\begin{vmatrix} x &y &1 \\ 3&7 &1 \\ 6& 3 &1 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} x &y \\ 3&7 \\ 6&3 \end{matrix}\right|=7x+6y+9-3y-3x-42=4x+3y-33=0$

$\begin{vmatrix} x &y &1 \\ -5&1 &1 \\ -2& -3 &1 \end{vmatrix}\left.\begin{matrix} x &y \\ -5&1 \\ -2&-3 \end{matrix}\right|=x-2y+15+5y+3x+2=4x+3y+17=0$

Reta AB

$-3y-4x+8=0$

Espero ter ajudado.

por jessicajessica Seg 17 Set 2012, 16:18

Obg limonada pela ajuda e tbm william, mas william eu nao entendi pq para encontrar o valor de x vc fez:

25=(x+1)²+((3x/4+19/4)-4)²

nao entendi se vc usou alguma formula, e o por que o x+1

por William Carlos Seg 17 Set 2012, 16:40

Usei a formula da distancia entre pontos.

C=(x,3x/4+19/4)

Esta é a coordenada do vértice C.

B=(-1,4)
vértice B.

A distancia entre eles vale 5.Agora é aplicar a formula.

$d^{2}=(xc-xb)^{2}+(yc-yb)^{2}\rightarrow 25=(x-(-1))^{2}+\left ( \frac{3x}{4}+\frac{19}{4}-4 \right )^{2}$

Espero ter ajudado,qualquer duvida pergunte.