Valor de k

por karine assumpção lopes 15/9/2012, 7:41 pm

O valor de k que impossibilita a resolução do sistema x + 3y + 4z = 1
y + kz - 2 = 0
2x + 2z - 3 = 0

a)-3/11
b) 1
c) 0
d) 2/11
e) 11/3

por **Robson Jr.** 15/9/2012, 8:25 pm

$\small \left\{\begin{matrix} x+3y+4z=1\\ 0x+y+kz=2 \\ 2x+0y+2z=3 \end{matrix}\right.$

Para que haja impossibilidade, primeiramente o determinante da matriz incompleta deve ser nulo.

$\small \begin{vmatrix} 1& 3& 4\\ 0& 1& k\\ 2& 0& 2 \end{vmatrix} =2+6k-8=0 \Rightarrow k=1$

Um novo determinante principal do sistema será aquele do canto superior esquerdo:

$\small \Delta _p=\begin{vmatrix} 1 &3 \\ 0 &1 \end{vmatrix} \neq 0$

Se houver impossibilidade, o determinante característico relativo a equação de ordem 3 será não-nulo.

$\small \delta _3=\begin{vmatrix} 1 &3 &1 \\ 0 &1 &2 \\ 2 &0 &3 \end{vmatrix}=3+12-2 \neq 0$

Então de fato o sistema é impossível para k = 1.

por danjr5 15/9/2012, 8:57 pm

Outra...

$\\ \begin{cases} x + 3y + 4z = 1 \\ y + kz - 2 = 0 \\ 2x + 2z - 3 = 0 \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} x + 3y + 4z = 1 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y + kz = 2 \Rightarrow y = 2 - kz \\ 2x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2z = 3 \Rightarrow x = \frac{3 - 2z}{2}\end{cases}$

Substituindo $x$ e $y$ na primeira equação, teremos:

$\\ x + 3y + 4z = 1 \\\\\\ \frac{3 - 2z}{2} + 3(2 - kz) + 4z = 1 \\\\\\ 3 - 2z + 6(2 - kz) + 8z = 2 \\\\ 3 + 12 - 2 = 2z + 6kz - 8z \\\\ 6kz - 6z = 13 \\\\ 6z(k - 1) = 13 \\\\ z = \frac{13}{6(k - 1)}$

Haverá impossibilidade quando o denominador for igual a zero, daí:

$\\ 6(k - 1) = 0 \\\\ k - 1 = 0 \\\\ \boxed{\boxed{k = 1}}$

Espero também ter ajudado!

Daniel F.

por **Jose Carlos** 20/9/2012, 11:19 am

Questão movida para -> Ensino Médio -> Álgebra

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