Geometria
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Geometria
por Teijeira Sex 14 Set 2012, 22:56
Boa noite a todos, estou com duvida nesta questão:
Sejam ABCD um quadrado e E um ponto no interior tal que o ângulo ECB igual ao EBC e igual a 15º. Mostre que AED é um triângulo equilátero.
Gostaria que se possível vocês me mostrassem a solução deste problema. Desde já agradeço a atenção dispensada e aguardo resposta.
Obs: Ao construir o quadrado ABCD percebi que pelo ponto E passa uma reta paralela aos lados AB e CD, e que esta reta passa pelo centro do quadrado, e percebi que os triângulos AEB e CED são congruentes, mas to com dificuldade de completar a questão.
Sejam ABCD um quadrado e E um ponto no interior tal que o ângulo ECB igual ao EBC e igual a 15º. Mostre que AED é um triângulo equilátero.
Gostaria que se possível vocês me mostrassem a solução deste problema. Desde já agradeço a atenção dispensada e aguardo resposta.
Obs: Ao construir o quadrado ABCD percebi que pelo ponto E passa uma reta paralela aos lados AB e CD, e que esta reta passa pelo centro do quadrado, e percebi que os triângulos AEB e CED são congruentes, mas to com dificuldade de completar a questão.
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Re: Geometria
por Elcioschin Sáb 15 Set 2012, 19:32
Faça um bom desenhe e marque os ângulos:
E^BC =15º ----> A^BE = 75º
E^CB =15º ----> D^CE = 75º
Façamos uma suposição de que AED é equilátero -----> Neste caso temos:
AB = BC = CD = AD =a
AE = AD ----> AE = a ----> Triangulo ABE é isósceles (AE = AB = a) ----> AÊB = 75º
No triângulo ABE ----> BÂE + ABE + AEB = 180º ----> BÂE + 75º + 75º = 180º ----> BÂE = 30º
EÂB + BÂE = 90º ----> EÂB + 30º = 90º -----> EÂB = 60º
De modo simiar ----> E^DA = 60º ----> AÊD = 60º
Conclusão ---- ADE é equilátero
E^BC =15º ----> A^BE = 75º
E^CB =15º ----> D^CE = 75º
Façamos uma suposição de que AED é equilátero -----> Neste caso temos:
AB = BC = CD = AD =a
AE = AD ----> AE = a ----> Triangulo ABE é isósceles (AE = AB = a) ----> AÊB = 75º
No triângulo ABE ----> BÂE + ABE + AEB = 180º ----> BÂE + 75º + 75º = 180º ----> BÂE = 30º
EÂB + BÂE = 90º ----> EÂB + 30º = 90º -----> EÂB = 60º
De modo simiar ----> E^DA = 60º ----> AÊD = 60º
Conclusão ---- ADE é equilátero
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Geometria
por Medeiros Sáb 15 Set 2012, 19:45
Olá, Teijeira.Sejam ABCD um quadrado e E um ponto no interior tal que o ângulo ECB igual ao EBC e igual a 15º. Mostre que AED é um triângulo equilátero.
Um modo de mostrar é partirmos da tese de que existe um triângulo equilátero e verificar se são satisfeitas as condições para isso, ou seja, ver se "cabe" tal triângulo.
Seja a figura, onde as letras minúsculas {a, b, c, d, e} são ângulos.
Tese: ∆AED é equilátero → é equiângulo (de 60º)
ABCD é quadrado → b = 90º-15º ----> b=75º
Se ∆AED é equiângulo, então: a = 90º-60º ----> a=30º.
No ∆AEB temos: ∠AEB = 180º-(a+b) = 180º - 105º ----> ∠AEB=75º .....................(I)
por E, traçamos r // AD ⇒ c=15º (alternos internos)
d = ∠AEB - c = 75º - 15º ----> d=60º
analogamente, .................... e=60º
Logo, considerando o ângulo raso da reta r no ponto E, temos:
d + ∠AED + e = 180º ----> 60º + ∠AED + 60º = 180º ----> ∠AED=60º
Mas pela simetria da figura, temos:
AE = DE ⇒ ∠EAD = ∠EDA
e no ∆ADE temos:
∠EAD + ∠EDA + ∠AED = 180º ----> 2∠EAD + 60º = 180º ----> ∠EAD = 60º
portanto, ∠EAD = ∠EDA = ∠AED = 60º ⇒ ∆AED é equiângulo ⇒ ∆AED é equilátero ............... q.e.d.
===============================
a partir de (I), acima, poderíamos ter derivado desta forma:
Com ∠AEB=b=75º, temos que ∆ABE é isósceles de base BE.
⇒ AE = AB
⇒ por simetria, DE = DC
como ABCD é quadrado ⇒ AD = AB
∴ AE = DE = AD ⇒ ∆AED é equilátero
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Re: Geometria
por Medeiros Sáb 15 Set 2012, 20:19
Teijeira,
uma forma calculando o lado do triângulo.
Seja a o lado do quadrado.
por E, traçamos r // AB.
por simetria, P é ponto médio de BC ----> PB=a/2
 = \frac{tg45º-tg30º}{1+tg45º.tg30º} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+1.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3} "\\ tg15º = tg(45º-30º) = \frac{tg45º-tg30º}{1+tg45º.tg30º} = \frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+1.\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}")
 \;\;\;\rightarrow\;\;\; \overline{PE}=a\cdot\;\frac{\;2-\sqrt{3}\;}{2} "\\ tg15º = \frac{\overline{PE}}{\;\;\overline{PB}\;\;} \;\;\;\rightarrow\;\;\; \overline{PE}=\overline{PB}\,.\,tg15º = \frac{a}{\;2\;}\cdot(2-\sqrt{3}) \;\;\;\rightarrow\;\;\; \overline{PE}=a\cdot\;\frac{\;2-\sqrt{3}\;}{2}")
 \;\;\;\rightarrow\;\;\; \overline{EQ} = a\;\frac{\,\sqrt{3}\,}{2} \\\\ \text{aqui já podemos ver que EQ tem a medida já conhecida}\\ \text{da altura de um triângulo equilátero.} "\\ \overline{EQ}=a-\overline{PE}=a\left(1-\frac{\;2-\sqrt{3}\;}{2} \right ) \;\;\;\rightarrow\;\;\; \overline{EQ} = a\;\frac{\,\sqrt{3}\,}{2} \\\\ \text{aqui já podemos ver que EQ tem a medida já conhecida}\\ \text{da altura de um triângulo equilátero.}")
^2= \frac{\,3a^2\,}{4}+\frac{\,a^2\,}{4} = a^2 \;\;\;\rightarrow\;\;\; \overline{AE}=a "\\ \text{No } \bigtriangleup AQE :\\\\ \overline{AE}^2=\overline{EQ}^2+\left(\frac{\,a\,}{2} \right )^2= \frac{\,3a^2\,}{4}+\frac{\,a^2\,}{4} = a^2 \;\;\;\rightarrow\;\;\; \overline{AE}=a")
por simetria, DE = AE = a ⇒ ∆ADE é equilátero.
uma forma calculando o lado do triângulo.
Seja a o lado do quadrado.
por E, traçamos r // AB.
por simetria, P é ponto médio de BC ----> PB=a/2
por simetria, DE = AE = a ⇒ ∆ADE é equilátero.
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Re: Geometria
por Teijeira Dom 16 Set 2012, 23:08
Boa noite, muito obrigado pelas respostas. Achei interessante a primeira resposta, mas a que eu consegui enxergar na ora que tentei resolver foi a última. Um abraço a todos.
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