(IME) Divisão harmônica

por Nat' Seg 10 Set 2012, 18:56

Considere as equações do 2° grau ax² + bx + c = 0 e a'x² + b'x + c' = 0. Suas raízes reais são respctivamente iguais a x1;x2 e x3;x4. Determine a condição entre os coeficientes das equações para que o segmento de extremidades com abscissas x1 e x2 seja dividido harmonicamente pelos pontos de abscissas x3 e x4.

Resp. Infelizmente não sei.

por Convidado Qua 19 Set 2012, 01:09

$\text{Suponha:}x_4>x_3\;\;x_2>x_1 \\$
Imagine:
(IME) Divisão harmônica Semttuloaaa

Para que as x1 e x2 sejam divididas harmonicamente pelos pontos de abscissas x3 e x4, temos de ter a seguinte relação, se você não a conhece, dê uma olhada:http://omatematicoeadt.blogspot.com.br/2011/02/divisao-harmonica.html
$\frac{|x_1-x_3|}{|x_1-x_4|}=\frac{|x_2-x_3|}{|x_2-x_4|}$
Sabendo das raízes:
$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a};x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \;\;\;\;x_3=\frac{-b'-\sqrt{(b')^2-4a'c'}}{2a'};x_4=\frac{-b'+\sqrt{(b')^2-4a'c'}}{2a'}$
Então:
$\frac{|\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b'-\sqrt{(b')^2-4a'c'}}{2a'}|}{|\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b'+\sqrt{(b')^2-4a'c'}}{2a'}|}=\frac{|\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b'-\sqrt{(b')^2-4a'c'}}{2a'}|}{|\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{-b'+\sqrt{(b')^2-4a'c'}}{2a'}|}$

Porém, certamente não era essa a resposta que ele queria. Vendo a terceira propriedade das divisões harmônicas, temos,observando que OA=OB, e, por isso, o sinal de mais ou menos:
$(\frac{x_2+x_1}{2}-x_1)^2=|\frac{x_1+x_2}{2}-x_3||\frac{x_1+x_2}{2}-x_4|\\ (\frac{x_1+x_2}{2}-x_1)^2=|(\frac{x_1+x_2}{2})^2-(\frac{x_1+x_2}{2})(x_3+x_4)+x_3x_4|\\ (\frac{-b}{2a}-x_1)^2=|\frac{b^2}{4a^2}-\frac{-b}{2a}\cdot\frac{-b'}{a'}+\frac{c'}{a'}|\\ (\frac{-b+b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a})^2=|\frac{b^2}{4a^2}-\frac{bb'}{2aa'}+\frac{c'}{a'}|\\ \frac{|b^2-4ac|}{4a^2}=|\frac{b^2}{4a^2}-\frac{bb'}{2aa'}+\frac{c'}{a'}|$

Qualquer dúvida ou sinal de erro em minha resolução dê um toque.

por Nat' Qua 19 Set 2012, 07:54

Gabriel, e se fizer assim:

Reorganizando $\frac{|x_1-x_3|}{|x_1-x_4|}=\frac{|x_2-x_3|}{|x_2-x_4|}$ fica $\frac{x_3-x_1}{x_4-x_1}=\frac{x_2-x_3}{x_4-x_2}$ .

Fazendo: (x3 - x1)(x4 - x2) = (x4 - x1)(x2 - x3) .:. x3.x4 - x3.x2 - x1.x4 + x1.x2 = x4.x2 - x4.x3 - x1.x2 + x1.x3 .:.
2x3.x4 + 2x1.x2 = x4.x2 + x1.x3 + x3.x2 + x1.x4 .:. 2x3.x4 + 2x1.x2 = x4(x1 + x2) + x3(x1 + x2) .:. 2x3.x4 + 2x1.x2 = (x4 + x3)(x1 + x2)

Utilizando as relações de Girard:

2c'/a' + 2c/a = -b'/a'(-b/a) .:. (2c'a + 2ca')/ a.a' = b'b/a.a' .:. 2(c'a + ca') = b.b'

Você acha que está errado??

por Convidado Qua 19 Set 2012, 10:20

Nat, por que você tirou os módulos? Quais considerações você fez para poder tirá-los?

por Nat' Qua 19 Set 2012, 10:22

Então eu considerei a sua figura, e de acordo com ela x4>x2>x3>x1. Não poderia ter feito isso não, né?

por Convidado Qua 19 Set 2012, 16:45

Pela minha experiência não, pois a minha segunda resolução eu fui mais generalista, tanto que pus o módulo. Acho que o que você fez é errado. Mas minha opnião claro. Pena que não tem gabarito. Onde você pegou esse exercício?

por Nat' Qua 19 Set 2012, 19:09

Também acho que está errado mesmo, pois nesse caso perderia a generalidade,né?
Eu retirei o exercício da apostila turma ITA,do Poliedro, mas o gabarito estava errado, pois no lugar da reposta, continha a palavra "demonstração" . Obrigada pela ajuda! Very Happy