sistema possível e indeterminado

Para que o sistema linear
{2x+y= 5
{ax+2y= b
seja possível e indeterminado, o valor de a+b é:

resposta: 14

2x + y = 5 -----> *2 ----> 4x + 2y = 10 ----> I
ax + 2y = b ........... ----> ax + 2y = b -----> II

Comparando termo a termo ----> a = 4 ----> b = 10 ----> a + b = 14

Vamos analisar a matriz incompleta:

[2 1]
[a 2]

Pelo Teorema de Cramer, se o determinante da matriz incompleta for diferente de 0, esta possui uma única solução (que não vem ao caso). Se o determinante for igual a zero, das duas uma, ou é indeterminado ou é impossível.

|2 1|
|a 2|

4 - a = 0 -----> a = 4

Substituindo a no sistema:

{2x + y = 5
{4x + 2y = b

Vamos escalonar o sistema da seguinte forma, multiplicamos a primeira equação por -2 e somamos com a segunda, fica:

0x + 0y = b - 10

Notamos que para ser indeterminado, b tem que assumir o valor 10.

a + b
4 + 10 = 14

Outra alternativa:

O sistema é possível e indeterminado, ou seja, admite uma infinidade de soluções, quando a razão entre os coeficientes for igual. ( a/a' = b/b' = c/c')

2/a = 1/2 = 5/b → a = 4 e b = 10
a + b = 10 + 4 = 14

Complementando:
O sistema é possível e determinado quando a/a' ≠ b/b'
O sistema é impossível quando a/a' = b/b' ≠ c/c'



Fernando.

Obrigado, amigos! Ótimas resoluções!

Não conhecia essa, Fernando.

Vou anotar, achei muito válida.