U. MACK - 82

por Convidado Dom 19 Ago 2012, 00:48

A circunferência da figura tem centro O e raio 6;se PQ=8, então determine arctg(^OTQ)

por Convidado Dom 19 Ago 2012, 01:58

Resolvido:
O arco RQ é compartilhado pelo ângulo inscrito OTQ e o ângulo central ROQ, portanto este último é o dobro do primeiro, além disso temos que como PQ é tangente à circunferência e portanto OQ é perpendicular à PQ. Denotando ROQ=2x, temos no triângulo OPQ:

$\tan{2x}=\frac{8}{6}\to \frac{2\tan x}{1-\tan^2{x}}=\frac{4}{3}\to\\ 6\tan{x}=4-4\tan^{2}{x}\to \tan x=\text{-1/2 ou 2, porém como x é do primeiro quadrante, }\\ \tan x=2\to x=\arctan{2}$

por Luck Dom 19 Ago 2012, 02:03

PQ = 8 , OQ = 6 --> OP = 10
PT = OP + OT = 10 + 6 = 16
^OTQ = ^OQT = θ ---> ^TOQ = (180-2θ) --> ^POQ = 2θ
tg (2θ) = 8/6 --> tg (2θ) = 4/3, agora é so conta..

por Convidado Dom 19 Ago 2012, 02:12

luck o que vc achou da minha resolução ? ela esta errada? pois a minha e a sua estão iguais, só que a resposta não é essa

por **Medeiros** Dom 19 Ago 2012, 02:57

Gabriel, seu raciocínio está perfeito, vc. distraiu-se na eq. quadrática.
6t = 4 – 4t^2
4t^2 + 6t – 4 = 0 ............. (÷2)
2t^2 + 3t – 2 = 0
t = –2 .............. não serve
t = 1/2

tg(x) = 1/2 ----> x = arctg(1/2) ----> calculadora ----> x ≈ 27°.