Desigualdade

por **Robson Jr.** Qui 16 Ago 2012, 23:09

Demonstrar que se $\small |x|<1$ , para quaisquer $\small n \geq2$ vale a desigualdade $\small (1-x)^n+(1+x)^n<2^n$ .

por rihan Sex 17 Ago 2012, 15:56

Se x = 1 --> (1-x)^n + (1+x)^n = 0 + 2^n = 2^n

Se |x| < 1 --> Se x >= 0, x. Senão, -x

As duas hipóteses levam a:

(1-x)^n + (1+x)^n, para x>= 0

ou

(1+x)^n + (1- x)^n, para x < 0

Logo,

(1+x)^n + (1- x)^n < 2^n

por **Robson Jr.** Sáb 18 Ago 2012, 15:57

Mestre rihan, não vejo como o post do senhor demonstra a desigualdade.

por rihan Sáb 18 Ago 2012, 21:17

Errado

por **Robson Jr.** Sáb 18 Ago 2012, 22:01

Entendi.

Tentei novamente fazer o problema e cheguei a uma solução um pouco diferente.

$\small |x|<1 \Rightarrow (1+x)>0 \text{ e }(1-x)>0 \Rightarrow (1+x)^n>0 \text{ e }(1-x)^n>0 \ \forall n \geq 2$

$\small (1+x)^n+(1-x)^n<2^n \\ \Leftrightarrow \ (1+x)^n+(1-x)^n < ((1+x)+(1-x))^n \\$

Suponha n ≥ 2, a > 0 e b > 0. Nesse caso, do desenvolvimento binomial temos (a + b)^n = a^n + b^n + k, com k > 0.
Do início, estou justificado a fazer a = (1+x) e b = (1-x). Consequentemente:

$\small (1+x)^n+(1-x)^n<((1+x)+(1-x))^n \\ \Leftrightarrow \ (1+x)^n+(1-x)^n<(1+x)^n+(1-x)^n+k\\ \Leftrightarrow \ 0<k$ , concluindo a demonstração.

Obrigado pela ajuda!