Determine uma fórmula garal para an'''.'

por Nat' Qui 09 Ago 2012, 17:19

Boa tarde pessoal!

Alguém pode me ajudar com essa?

Uma sequência ao,a1,a2,... de números reais é definido recursivamente por ao=1, an+1 = an /(1 + nan) (n=0,1,2,...). Determine a fórmula geral para an.

Resp: 2/(n² - n +2)

Obrigada! Very Happy

por **fantecele** Qua 31 maio 2017, 23:04

$\\a_{(n+1)}=\frac{a_{(n)}}{1+n.a_{(n)}}\\a_{(n+1)}+n.a_{(n+1)}.a_{(n)}=a_{(n)}\\n=\frac{1}{a_{(n+1)}}-\frac{1}{a_{(n)}}$

$\\0=\frac{1}{a_{(1)}}-\frac{1}{a_{(0)}}\\1=\frac{1}{a_{(2)}}-\frac{1}{a_{(1)}}\\2=\frac{1}{a_{(3)}}-\frac{1}{a_{(2)}}\\...\\n-1=\frac{1}{a_{(n)}}-\frac{1}{a_{(n-1)}}$

Somando tudo:

$\\\frac{(n-1).n}{2}=\frac{1}{a_{(n)}}-\frac{1}{a_{(0)}}\\\frac{1}{a_{n}}=\frac{(n-1).n}{2}+1\\a_{n}=\frac{2}{n^2-n+2}$

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