Polinômios UFMG 1999

por Ramon Ps Sex 03 Ago 2012, 08:03

Considere o polinômio p(x) = (x-1)(x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4). O polinômio p(x) é igual a:

a) x^4 (x^3 -1)(x^3 +1)
b) x^4 (x^6 - 2x^4 +1)
c) x^4 (x^3-1)^2
d)x^4(x^6 - 2x^2+1)

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eu só conseguir eliminar uma alternativa, que foi à alternativa C já que p(-1) é 0.
Obg desde já.

por Nat' Sex 03 Ago 2012, 10:14

Ramon Ps,

Por favor, da próxima vez deixe o gabarito se tiver.

(x-1)(x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4) ==> -1 é raíz

Então podemos dividir x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 por x+1, o que resulta em:

(x-1)(x+1)(x^8 + x^6 + x^4)

Colocando x^4 em evidência:

X^4(x-1)(x+1)(x^4 + x² + 1) .:. x^4(x-1)(x+1)( (x² + 1)² - x²).:.

Utilizando a diferença de quadrados, fica:

x^4(x-1)(x+1)( x² + 1 - x)( x² + 1 + x).:.

Multiplicando cada membro pelo outro da sua respectiva cor, temos:

x^4 (x^3 -1)(x^3 +1)

letra a)

Espero ter ajudado! Very Happy

x

por Diegomedbh Sex 03 Ago 2012, 10:53

Olá pessoal,

Colocando x^4 em evidência

$\\p(x)=(x-1)[x^4(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)]\\\\ p(x)=x^4 \cdot(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$

Usem produtos notáveis:

$\\x^6-y^6=(x-y)(x^5+x^4y+x^3y^2+x^2y^3+xy^4+y^5)\\ x^2-y^2=(x-y)(x+y)$

Ficou fácil!

$\\p(x)=x^4(x^6-1^6)\\ p(x)=x^4(x^3-1)\cdot(x^3+1)$

Espero ter ajudado!

por edemouse Sex 03 Ago 2012, 15:36

Nat' escreveu:Ramon Ps,

Por favor, da próxima vez deixe o gabarito se tiver.

(x-1)(x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4) ==> -1 é raíz

Então podemos dividir x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 por x+1, o que resulta em:

(x-1)(x+1)(x^8 + x^6 + x^4)

Colocando x^4 em evidência:

X^4(x-1)(x+1)(x^4 + x² + 1) .:. x^4(x-1)(x+1)( (x² + 1)² - x²).:.

Utilizando a diferença de quadrados, fica:

x^4(x-1)(x+1)( x² + 1 - x)( x² + 1 + x).:.

Multiplicando cada membro pelo outro da sua respectiva cor, temos:

x^4 (x^3 -1)(x^3 +1)

letra a)

Espero ter ajudado!

x

Nat, poderias me dizer como vc deduziu que -1 é uma raiz desse polinômio (e não 1)?

por Nat' Dom 05 Ago 2012, 17:17

Substituindo -1 em x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4, fica: (-1)^9 + (-1)^8 + (-1)^7 + (-1)^6 + (-1)^5 + (-1)^4 = -1 + 1 -1 + 1 - 1 + 1 = 0 ==> -1 é raiz.

Obs: -1 é apenas uma das raízes da equação, 1 também é raiz.

por Senshi Seg 30 Nov 2015, 22:14

Nat' escreveu:Substituindo -1 em x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4, fica: (-1)^9 + (-1)^8 + (-1)^7 + (-1)^6 + (-1)^5 + (-1)^4 = -1 + 1 -1 + 1 - 1 + 1 = 0 ==> -1 é raiz.

Obs: -1 é apenas uma das raízes da equação, 1 também é raiz.

Só pra tirar dúvida, como ficaria o exercício usando a raiz +1?

E porque após descobrir a raiz (-1 no caso da resolução) subentendeu-se que a divisão seria por x+1?

por Senshi Qui 03 Dez 2015, 19:53

Ninguém?

por **Elcioschin** Qui 03 Dez 2015, 20:37

Senshi

Duas soluções diferentes foram apresentadas. Em ambas as raízes x = 1 e x = -1 foram consideradas.

A raiz x = 1 foi descoberta apena olhando o polinômio: ele tem um fator (x - 1) multiplicando o outro fator. Para x = 1, P(x) = 0

Para descobrir a raiz x = -1 basta conhecer uma propriedade:

Todo polinômio com coeficientes iguais a 1, com número par de termos, admite uma raiz x = -1

Para o restante, basta ler as soluções