Divisibilidade por 11

Entendendo a regra de divisibilidade por 11:

"Um número é divisível por 11 se a soma dos seus algarismos de ordem par subtraída das soma de seus algarismos de ordem ímpar for divisível por 11."

A ordem dos algarismos deve ser orientada como segue:

Unidades -> Ordem Zero (Par)
Dezenas -> Ordem 1 (Ímpar)
Centenas -> Ordem 2 (Par)
(...)

Exemplos:

99: 9 - 9 = 0, logo 99 é divisível por 11.
21934: (4+9+2) - (3+1) = 11, logo 21934 é divisível por 11.
2012: (2+0) - (1+2) = -1, logo 2012 não é divisível por 11.
1358016: (6+0+5+1) - (1+8+3) = 0, logo 1358016 é divisível por 11.
1234567: (7+5+3+1) - (6+4+2) = 4, logo 1234567 não é divisível por 11.

Demonstração da regra:

Inicialmente, provarei dois lemas.

Lema 1: Toda potência de 10 com expoente par deixa resto 1 na divisão por 11.

Para expoente 0, isso obviamente é verdade (10^0 = 1 = 0.11 + 1).
Para expoente par não-nulo, provar o lema equivale a provar que 10^(par) - 1 é divisível por 11.

Como 99 é divisível por 11, o lema procede.

Lema 2: Toda potência de 10 com expoente ímpar deixa resto 10 na divisão por 11.

Isso equivale a mostrar que 10^{ímpar} - 10 é divisível por 11.
, que é divisível por 11 pelo Lema 1. Portanto o Lema 2 também procede.


Dos lemas 1 e 2 seguem, respectivamente:

i)
ii)

Suponha agora um número da forma , onde os a's são os algarismos das unidades, dezenas etc. Chamo atenção para o fato de a paridade do algarismo estar subentendida nos índices.

De i), temos as seguintes relações para os algarismos de ordem par:



De ii), temos as seguintes relações para os algarismos de ordem ímpar:



Somando todas as congruências acima, para ambas as ordens:



CqD

Nota: Para um número de ordem máxima ímpar, basta tirar o algarismo a{2n} de N que o resultado será imediato e idêntico.

Só aprendo contigo, Robson!

Muito bom