Equação de Colebrook

Eu preciso de ajuda nesta questão:

Uma tubulação de aço galvanizado de 400 mm de diâmetro e 0,05 mm de rugosidade conduz água sob uma perda de carga unitária de 0,00658m/m. Pede-se para calcular a vazão aduzida fazendo uso da equação universal em combinação com a equação de Colebrook.

Alguém pode me ajudar, obrigada!!!!

Menina,

isso é assunto específico de um curso de engenharia (agronomia?). A equação de Colebrook não é de resolução simples e não me animo a isso. Creio que nosso fórum não é adequado a essa questão, o que, todavia não a impede de postar. Alguns de nossos membros são engenheiros e talvez você tenha sorte.
Perda de Carga em Tubulações

Lidi21 escreveu:Eu preciso de ajuda nesta questão:

Uma tubulação de aço galvanizado de 400 mm de diâmetro e 0,05 mm de rugosidade conduz água sob uma perda de carga unitária de 0,00658m/m. Pede-se para calcular a vazão aduzida fazendo uso da equação universal em combinação com a equação de Colebrook.

Alguém pode me ajudar, obrigada!!!!

Olá Lidi21:

Este problema pode ser resolvido de duas maneiras: manualmente e via software. Por software é imediato. Manualmente é mais trabalhoso.


1) Vamos primeiro pela via manual:

Inicia-se apresentando a equação da continuidade em sua forma mais comum:

Q = AV

Temos também da hidráulica e da mecânica dos fluidos a conhecida expressão para o cálculo do número de Reynolds:

R_e = \frac {VD}{\upsilon}

Combinando a primeira equação com a segunda, o número de Reynolds assume a conveniente forma:

R_e = \frac {4Q}{\pi D \upsilon} \text { ............................... (1)}

onde:

Q = vazão no tubo (m³/s)
A = \pi.D²/4 = área da seção transversal do tubo (m²)
D = diâmetro interno do tubo (m)
V = velocidade do líquido escoando no interior do tubo (m/s)
\upsilon = viscosidade cinemática do líquido em escoamento (m²/s)
R_e = número de Reynolds (admensional)
\pi = 3,1416....

Nas condições normais de escoamento o número de Reynolds é interpretado conforme segue:

R_e > 4000, então o escoamento é turbulento.
R_e < 2000, então o escoamento é laminar.

Entre estes dois valores há a zona de transição, onde não se pode determinar com precisão a natureza do escoamento.

As equações que aqui serão utilizadas se aplicam ao chamado escoamento turbulento. Em geral, o regime de escoamento na condução de líquidos no interior de tubulações é turbulento, exceto em situações muito especiais, tais como escoamento a baixíssimas vazões, como ocorre nos sistemas de irrigação por gotejamento, onde o escoamento é laminar.

Sempre que um líquido escoa no interior de um tubo de um ponto para outro, haverá uma certa perda de energia, denominada perda de pressão ou perda de carga. Esta perda de energia é devido ao atrito com as paredes do tubo e devido à viscosidade do líquido em escoamento. Quanto maior for a rugosidade da parede da tubulação, isto é, a altura das asperezas, maior será a turbulência do escoamento e, logo, maior será a perda de carga.

Já há cerca de umas duas centenas de anos estudos e pesquisas vêm sendo realizados, a procura de leis que possam reger as perdas de carga em condutos. No passado várias fórmulas empíricas foram estabelecidas, algumas empregadas até com alguma confiança em diversas aplicações de engenharia, como a fórmula de Hazen-Williams, a fórmula de Manning e a de Flamant. Mas, trabalhos de diversos investigadores tem mostrado que, em sua totalidade, são mais ou menos incorretas. A incorreção dessas fórmulas é tanto maior quanto mais amplo é o domínio da aplicação pretendido por seus autores.

Atualmente a expressão mais precisa e usada, reconhecida universalmente para análise de escoamento em tubos, que foi proposta em 1845, é a conhecida fórmula universal de perda de carga ou equação de Darcy-Weisbach:

h_f = \frac {fLV^2}{2Dg}

que, após substituir valores e realizar operações, também assume uma conveniente forma:

\frac {1}{\sqrt{f}} = \sqrt { \frac {8Q^2}{J \pi^2gD^5} } \text { ...................... (2)}

onde:

h_f = perda de carga ao longo do comprimento do tubo (mca)
f = fator de atrito (adimensional)
L = comprimento do tubo (m)
V = velocidade do líquido escoando no interior do tubo (m/s)
D = diâmetro interno do tubo (m)
g = aceleração da gravidade local (m/s²)
J = h_f /L = perda de carga unitária (mca/m)

Mas somente em 1939, quase 100 anos depois, é que definitivamente se estabeleceu uma expressão para o fator de atrito f, através da equação de Colebrook-White:

\frac {1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left( \frac{0,27k}{D} + \frac{2,51}{R_e \sqrt{f}} \right) \text{ ......................... (3)}

onde:

k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m)

Substituindo-se as equações (1) e (2) na equação (3) e realizando operações, tem-se:

Q = -2,2214 \sqrt{JgD^5} \log_{10} \left( \frac{0,27k}{D} + \frac {1,7748 \upsilon}{\sqrt{JgD^3}} \right) \text { ...................(4)}

Com a eq. (4) passa-se a dispor de uma expressão que se aplica ao cálculo da vazão em condutos uniformes, forçados, de seção circular, de qualquer natureza, diâmetro e comprimento, em regime permanente, conduzindo fluidos incompressíveis.

Deduzida a equação, passa-se à resolução do problema com os seus dados:

Dados do problema:

\upsilon = 0,000001 m²/s (visc. cinemática da água a 20⁰C)
k = 0,05 mm = 0,00005 m (rugosidade)
D = 400 mm = 0,4 m
J = 0,00658 mca/m
g = 9,81 m/s²

Substituindo estes valores na eq.(4), vem:

Q = -2,2214 \times \sqrt{0,00658 \times 9,81 \times 0,4^5} \; \; \times

\log_{10} \left( \frac{0,27 \times 0,00005}{0,4} + \frac{1,7748 \times 0,000001}{\sqrt{0,00658 \times 9,81 \times 0,4^3}} \right)

Q = -0,057111582 \times \log_{10} \left( 0,00003375 + 0,000027612 \right)

Q = \left( -0,057111582 \rigt) \times \left( -4,212100494 \right)

Q = 0,240559722

Q ≈ 0,24 m³/s


2) Resolvendo via software:

Há um software, chamado HidroTec Calculador, disponível em http://hidrotec.xpg.uol.com.br/index.htm , onde uma vez aberto:

- Seleciona-se o material da tubulação: aço comercial.
- Seleciona-se o líquido: água.
- Seleciona-se a temperatura do líquido: 20^oC
- Seleciona-se para calcular: "Vazão".
- Entra-se com a perda unitária: J = 0.00658 mca/m.
- Entra-se com o diâmetro interno do tubo: D = 0.4 m.

E encontra-se:

Q ≈ 0,24 m³/s. (bate com o resultado manual).

E de lambuja ainda dá:

f = 0,0167
R_e = 667134
V = 1,754 m/s.

Abraços.