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por Victor César Alves Pinto Ter 17 Jul 2012, 11:31
Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um angulo de 60 graus.Seja C1 uma circunferencia de raio 3 cm,cujo centro O se situa em s, a 5 cm de r.Determine o raio da menor circunferencia tangente à C1 e à reta r,cujo centro também se situa na reta s.
Me desculpem mas não sei a resposta
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Re: (ITA-2004)
por raimundo pereira Ter 17 Jul 2012, 12:58
Triângulo AOM 30/60 , então am=5V3/3
Triângulo OAM temos (Pitágoras) >> (3 + 2r)² = 5² +{(5V3)/3}²
r1 = -4 não serve
r2= 1cm . Penso que seja isso. att
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Re: (ITA-2004)
por Elcioschin Ter 17 Jul 2012, 14:04
Raimundo
Sendo a circunferência c2 tangente à reta r, ela NÃO passa pelo ponto M, logo O'M não é um raio.
Por O' traça-se um raio perpendicular à reta r
AÔM = 30º
(3 + r)*cos30º + r = 5 ----> (3 + r)*(\/3/2) + r = 5 ----> 3*\/3 + r*\/3 + 2r =10 -----> r*(2 + \/3) = (10 - 3*\/3) ----> r = (10 - 3*\/3)/(2 + \/3) ---->
r = (10 - 3*\/3)*(2 - \/3)/(2 + \/3)*(2 - \/3) -----> r = 29 - 16*\/3 ----> r ~= 1,29
Sendo a circunferência c2 tangente à reta r, ela NÃO passa pelo ponto M, logo O'M não é um raio.
Por O' traça-se um raio perpendicular à reta r
AÔM = 30º
(3 + r)*cos30º + r = 5 ----> (3 + r)*(\/3/2) + r = 5 ----> 3*\/3 + r*\/3 + 2r =10 -----> r*(2 + \/3) = (10 - 3*\/3) ----> r = (10 - 3*\/3)/(2 + \/3) ---->
r = (10 - 3*\/3)*(2 - \/3)/(2 + \/3)*(2 - \/3) -----> r = 29 - 16*\/3 ----> r ~= 1,29
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Re: (ITA-2004)
por raimundo pereira Ter 17 Jul 2012, 14:28
Perfeito Prof. Meu erro está claro.
Como não estou lembrado das relações trigonométricas, e você pede para traçar uma perpendicular de O' a reta r, gostaria que você me detalhasse em qual triângulo foi aplicado a relação (3 + r) . cos 30 +r = 5 . grato att
Raimundo
Como não estou lembrado das relações trigonométricas, e você pede para traçar uma perpendicular de O' a reta r, gostaria que você me detalhasse em qual triângulo foi aplicado a relação (3 + r) . cos 30 +r = 5 . grato att
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Re: (ITA-2004)
por Elcioschin Ter 17 Jul 2012, 18:33
Seja T o ponto de tangência de r2 com a reta r
Trace o raio O'T = r
Por O' trace uma reta perpendicular a OA. Seja H o pé desta perpendicular
ATO'H é um retângulo ---> AH = O'T ----> AH = r
No triângulo retângulo OHO' temos:
OO' = 3 + r
AÔO' = 30º
OH = OO'cos30º ----> OH = (3 + r)*(\/3/2)
OH + AH = OA ----> (3 + r)*(\/3/2) + r = 5 ---> Veja agora minha solução anterior
Trace o raio O'T = r
Por O' trace uma reta perpendicular a OA. Seja H o pé desta perpendicular
ATO'H é um retângulo ---> AH = O'T ----> AH = r
No triângulo retângulo OHO' temos:
OO' = 3 + r
AÔO' = 30º
OH = OO'cos30º ----> OH = (3 + r)*(\/3/2)
OH + AH = OA ----> (3 + r)*(\/3/2) + r = 5 ---> Veja agora minha solução anterior
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Re: (ITA-2004)
por raimundo pereira Ter 17 Jul 2012, 19:20
Boa Noite prof Elcio ,
Perfeitamente entendido. Quando vi a 1a resolução, cheguei a ver o retângulo , mas não tive uma visão completa. Agora ficou bem claro.Muito grato
Perfeitamente entendido. Quando vi a 1a resolução, cheguei a ver o retângulo , mas não tive uma visão completa. Agora ficou bem claro.Muito grato
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