p.g infinita

por puiff Qua 11 Jul 2012, 17:06

Numa progressão geométrica infinita, o terceiro termo é 2/3 e a soma dos termos de ordem ímpar é um número igual ao triplo da soma dos termos de ordem par. Determine o primeireo termo dessa progressão.

gabarito:6

por **Robson Jr.** Qua 11 Jul 2012, 19:10

Faltou você dizer que a PG converge, mas vamos lá.

$\small \\ \text{Seja a PG: }a, \ aq, \ aq^2, \ aq^3, \ aq^4, \ aq^5, \ ... \ \ com \ aq^2=\frac{2}{3} \\\\ \text{A soma dos termos de ordem par será uma PG de razão }q^2: \\\\ S_{par}=aq+aq^3+aq^5+...\Rightarrow S_{par}=\frac{aq}{1-q^2} \\\\ \text{A soma dos termos de ordem ímpar também será uma PG de razão }q^2:\\\\ S_{impar}=a+aq^2+aq^4+... \Rightarrow S_{impar}=\frac{a}{1-q^2}$

$\small \\ \text{Do enunciado: }S_{impar}=3S_{par} \Rightarrow \frac{a}{1-q^2}=\frac{3aq}{1-q^2} \\\\ \text{Se a PG converge, necessariamente }q\neq \pm 1 \text{. Logo: }a=3aq \Rightarrow q=\frac{1}{3} \\\\ \text{Como tinhamos }aq^2=\frac{2}{3}: \\a.\frac{1}{9}=\frac{2}{3} \Rightarrow a=6 \ (Resposta)$

por puiff Sex 13 Jul 2012, 15:26

Obrigada pela explicação, mas eu não consegui entender que fórmula você usou na soma do par e do ímpar para ter ficado assim:

Sp=q.aq/1-q
Si=aq/1-q

por **Robson Jr.** Sex 13 Jul 2012, 18:11

Sempre que uma PG infinita, de razão q, possui 0 < |q| < 1, a soma de seus termos converge para:

S = a1/(1 - q), onde a1 é o primeiro termo da PG.

Só utilizei a1 e q apropriados.

por **Elcioschin** Sex 13 Jul 2012, 18:27

Robson

O que a puiff quer saber é:

Sp = aq + aq^3 + aq^5 + ...... -----> a1 = aq -----> Razão = q²

Fórmula geral ------> Sp = a1/(1 - q) -----> Substituindo temos:

Sp = aq/(1 - q²) -----> Como chegar até Sp = q*aq/(1 - q) ?