Números racionais
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Números racionais
por Nat' Ter 03 Jul 2012, 00:55
Galerinha, alguém aí, pode me ajudar com a questão seguinte?Agradeço desde já!
Prove que ∛(20 +14√2) + ∛(20 -14√2) é um número racional!
Nat'- Mestre Jedi
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Re: Números racionais
por Luck Ter 03 Jul 2012, 02:14
x = cbrt( 20 + 14√2) + cbrt(20 - 14√2)
(20+14√2) = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²
entao a é real e b é irracional, disso conseguimos tirar que b = √2, pois se b> √2 perceba que ao elevar ao cubo ja ultrapassa o valor de 14√2 , daí fica fácil achar a... a = 2
(20+14√2) = ( 2+√2)³
x = cbrt (2+√3)³ + cbrt (2-√3)³
x = 2+√3 + 2-√3
x = 4
(20+14√2) = a³ + b³ + 3a²b + 3ab²
entao a é real e b é irracional, disso conseguimos tirar que b = √2, pois se b> √2 perceba que ao elevar ao cubo ja ultrapassa o valor de 14√2 , daí fica fácil achar a... a = 2
(20+14√2) = ( 2+√2)³
x = cbrt (2+√3)³ + cbrt (2-√3)³
x = 2+√3 + 2-√3
x = 4
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Re: Números racionais
por Nat' Ter 03 Jul 2012, 09:39
Luck,Desculpe-me mas eu não entendi sua explicação.
Porque da relação (20+14√2) = a³ + b³ + 3a²b + 3ab², tiramos que
b = √ 2 ?
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Re: Números racionais
por Robson Jr. Ter 03 Jul 2012, 11:52
Acho que o Luck tava forçando para 20+14√2 e 20-14√2 serem cubos perfeitos. Partindo do princípio que de fato eram, a presença de "14√2" precisava ser justificada por um termo k.√2 no cubo original, que eventualmente se tornaria (k.√2)³, donde foi fácil estimar, a partir do 14, que k = 2. Com um 2√2 em mãos, fica fácil pensar no 2 para completar (2+√2).
Se você não tivesse percebido o mesmo que ele, ainda haveria a solução braçal:
+(20-14\sqrt{2})+3(\sqrt[3]{20^2-14^2.2}) \underbrace{(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}})}\\ \rightarrow x^3=40+3\sqrt[3]{8}(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \\ \rightarrow x^3=40+6x \\ "\small x= \sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} \\ \rightarrow x^3=(20+14\sqrt{2})+(20-14\sqrt{2})+3(\sqrt[3]{20^2-14^2.2}) \underbrace{(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}})}\\ \rightarrow x^3=40+3\sqrt[3]{8}(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \\ \rightarrow x^3=40+6x \\")
Você poderia testar valores pequenos na equação (e constatar que 4 é raíz), ou simplesmente fatorá-la.
 =0 \\ \rightarrow (x-4)(x^2+4x+16)-6(x-4)=0 \\ \rightarrow (x-4)(x^2+4x+10) "\small x^3 - 6x - 40 = 0 \\ \rightarrow x^3 - 64 - 6x + 24 = 0 \\ \rightarrow x^3 - 4^3 - 6(x-4) =0 \\ \rightarrow (x-4)(x^2+4x+16)-6(x-4)=0 \\ \rightarrow (x-4)(x^2+4x+10)")
, com x = 4 sendo a única raíz real.
Eu ficaria com a ideia do Luck.
Se você não tivesse percebido o mesmo que ele, ainda haveria a solução braçal:
Você poderia testar valores pequenos na equação (e constatar que 4 é raíz), ou simplesmente fatorá-la.
Eu ficaria com a ideia do Luck.
Robson Jr.- Fera
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