Eq. Trigonométrica

Resolva a esquação trigonométrica tg²2x = sec²x - 1.

Bom, sei que sec²x -1 = tg² x, então:


tg² 2x = tg² x , e a partir dai me falto a visão ; )

Spoiler:

Rapaz ...

tg²2x = sec²x - 1

Você, no caso, deduziu que tg² 2x = tg² x

Se eu te disser que tg² x + 1 = sec²x, isso ia ficar bem na cara, no caso, você voltaria com tg² 2x = tg² x para o primeiro termo (tg²2x = sec²x - 1)

Dava uma substituição, e pronto. Mas, eu tenho dúvidas quanto ao tg² 2x = tg² x

Tipo, tg2x = 2tgx/ 1 - tg²x ... Se eu elevar isso ao quadrado, eu não creio que dê tg²x ....

se for levar em consideração : tg²2x = sen²2x/cos²2x ... Também não ia ficar algo muito lindo '-'

sen2x = 2senxcosx
cos2x = 2cos²x - 1

Elevando os termos ao quadrado ( Acho que é isso que nós temos que fazer ... )

4sen²xcos²x/ 4cos(²x²)x - 4cos²x + 1

...
Enfim, não entendo como tg²2x = tg²x :aad:

Lembrem-se que tg(2x) = 2*tgx/(1 - tg²x)

tg²(2x) = sec²x - 1 ---> tg²(x) = tg²x -----> [2*tgx/(1 - tg²x)]² = tg²x ---->

4*tg²x/(1 - tg²x)² = tg²x ----> 4*tg²x/(1 - tg²x)² - tg²x) = 0 ---->

tg²x*[4/(1 - tg²x)² - 1) = 0 -----> Temos 2 soluções:

1) tg²x = 0 ----> tgx = 0 -----> x = kpi

2) 4/(1 - tg²x)² - 1 = 0 ----> (1 - tg²x)² = 4 ----> 1 - tg²x = ± 2 ---_>

2.1) 1 - tg²x = 2 ----> tg²x =- 1 ----> não serve

2.2) 1 - tg²x = - 2 ----> tg²x = 3 ----> tgx = ± \/3 ----> x = kpi ± 60º

Elcioschin escreveu:Lembrem-se que tg(2x) = 2*tgx/(1 - tg²x)

tg²(2x) = sec²x - 1 ---> tg²(x) = tg²x -----> [2*tgx/(1 - tg²x)]² = tg²x ---->

4*tg²x/(1 - tg²x)² = tg²x ----> 4*tg²x/(1 - tg²x)² - tg²x) = 0 ---->

tg²x*[4/(1 - tg²x)² - 1) = 0 -----> Temos 2 soluções:

Então, partindo da idéia que tg² x + 1 = sec²x, então tg² 2x = tg² x realmente '-' ....

Já que tg²2x = sec²x - 1

Eu acho que estou enferrujado kkkkkk'

Pois é G30G, trigonometria é muito detalhe, e uns quantos modos de resolução pra uma mesma conta, isso que complica, tem que ta toda hora praticando.

Eu entendi a resolução da conta, como o Elcioschin resolveu, só que a resposta dada não confere com a do gabarito que da como resposta x = 2kpi.
Será que o gabarito está errado?




Desde já agradeço ; )

Considerando que o enunciado está correto: tg²(2x) = sec²x - 1

Vou provar que o gabarito está ERRADO:

x = 2kpi significa número inteiro de voltas

1) Testando x = pi (meia volta) ----> tg²(2pi) = tg²(pi) ----> 0 = 0

2) Testando x = 60º (um sexto de volta) ----> tg²(2*60º) = tg²(60º) ----> tg²120º = tg²(60º) ---->(-\/3)² = (\/3)² ----> 3 = 3

Gabarito ERRADO

É, o gabarito está errado então.


muito obrigado pela ajuda ; )