Superfícies quádricas

Obtenha a equacao da superficie formada pelas retas que se apoiam na circunferencia x² + y² = 4 e no ponto V (0,3,3).

A circunferência ξ² + y² = 4 pode ser escrita como intersecção da superfície esféria ψ² + y² = 4 com o plano ∏: z = 0

O tipo da superficie obtida é cônica.
Sejam ∑ a superfície, X = (x,y,z), V = (0,3,3) e Q = (u,v,w).
X ∈ ∑ ⇔ ∃ Q ∈ (ψ ∩ ∏) | VQ ║ VX.

De Q ∈ (ψ ∩ ∏)
u²+v²=4
w = 0

De VQ ║ VX.
VQ = λVX , ∀ λ ∈ ℝ
(u-0,v-3,w-3) = λ(x-0,y-3,z-3)
(u,v-3,w-3) = λ(x,y-3,z-3)

Fazendo o sistema.
u²+v²= 4 (I)
w = 0 (II)
u = λx (III)
v = 3+λ(y-3) (IV)
w = 3+λ(z-3) (V)

(II)=(V)
-3=λ(z-3)
λ = 3/(3-z), z≠3

(III),(IV) em (I)
λ²x² + (3+λ(y-3))² = 4
(3/(3-z))²x² + (3 + 3(y-3)/(3-z))² = 4

9x²/(3-z)² + 9 + 18(y-3)/(3-z) + 9(y-3)²/(3-z)² = 4
(9x²+18(y-3)(3-z) + 9(y-3)²)/(3-z)² = -5, z ≠ 3


∑ é a união dos pontos que satisfazem (9x²+18(y-3)(3-z) + 9(y-3)²)/(3-z)² = -5 com o vértice V = (0,3,3).