Áreas de superfícies planas

Calcule a área do triângulo ABC, sendo AB= 4 cm, Â= 30° e ^C= 45°.


Resposta: 2(√ 3 + 1) cm²


Desde já agradeço a ajuda!!!

Tatiane Reis Bonfim escreveu:Calcule a área do triângulo ABC, sendo AB= 4 cm, Â= 30° e ^C= 45°.


Resposta: 2(√ 3 + 1) cm²


Desde já agradeço a ajuda!!!

Boa noite, Tatiane.

Se um dos ângulos mede 30° e outro mede 45°, então o terceiro ângulo deve medir 105° (=180° - 30° - 45°).

Desenhe um triângulo com a seguinte disposição:
Coloque o ângulo maior (105°) no vértice superior (B); de 45° (C), no vértice esquerdo da base CA; o de 30° (A), no vértice direito da base CA.

Escreva 4 como medida do lado AB.

Trace uma perpendicular do vértice B até atingir o lado CA num ponto que identificaremos com a letra H.
AH = altura do lado CA.

Agora, observe: Se o ângulo A mede 30°, AH/BA = seno 30° = 1/2.
Isso nos mostra que a medida de AH é igual à metade de BA, ou seja, 4/2 = 2.

Assim, nesse triângulo retângulo BHA, o cateto HA deve medir:
2² + (HA)² = 4²
(HA)² = 16 - 4 = 12
HA = √12 = 2√3

E a área desse triângulo BHA mede:
HA*BH/2 = 2√3*2/2 = 2√3 cm²

Olhemos agora para o outro triângulo retângulo que fica à esquerda a altura BH; o triângulo BHC:
Se o ângulo C mede 45°, então o segmento CH tem igual medida que BH, ou seja: CH = 2.

E então a área do triângulo BHC mede:
CH*BH/2 = 2*2/2 = 4/2 = 2 cm²

Área do triânglo ABC = 2√3 cm² + 2 cm² = 2(√3 + 1) cm²















Um abraço.

outra solução.

os lados a, b e c são opostos respectivamente aos vértices A, B e C.

lei dos senos ---> a/sen30º = 4/sen45º -----> a = 4*sen30º/sen45º -----> a = 4*(1/2)/(√2/2) -----> a = 2√2

sen105º = sen(60º+45º) = sen60º.cos45º + sen45º.cos60º
sen105º = (√3/2)*(√2/2) + (√2/2)*(1/2) -------> sen105º = √2(√3+1)/4

S = (1/2).a.c.sen105º
S = (1/2).2√2.4.√2(√3+1)/4 -------> S = 2(√3+1) cm²

Muito obrigada Ivomilton e Medeiros pela ajuda de vocês!!


Boa tarde!!!