logaritmo

(Cefet-PR) Se e são soluções do sistema ,
então é igual a:

a)64
b)260
c)514
d)136
e)80


Eu encontrei a = 2 e b = 8, que não bate com o gabarito(do livro fundamentos da matematica elementar); em caso de o gabarito realmente estar errado gostaria de saber se é comum(para quem ja estudou a serie de Iezzi) encontrar erros no gabarito?

Como não temos letra expoente y no alfabeto , troquei por n , então onde tiver n, na verdade é y.

Aplicando a propriedade de log na segunda equação:
log₂ xn = 4 .'. 2⁴ = xn

Multiplicando cruzado a primeira equaçào:
2༝.2ⁿˉ¹º = 2⁰

Ou seja : x + n - 10 = 0
x + n = 10

Temos então, duas equações:

xn = 2⁴
x + n = 10

Perceba que x e n devem ser positivos ! Pois ambos são logaritimando dos logs no sistema. Vamos resolver o sistema então :

xn = 16
n = 10 - x
x (10 - x) = 16
10x - x² = 16
x² - 10x + 16 = 0

∆ = 10²-4.1.16 = 100 - 64 = 36
√∆ = ±6

x = (10 ± 6 )/ 2
x = 8 ou x = 4

As possiveis soluções são :

Se x = 8 então n = 2
Se x = 4 então n = 6

2^8 + 2^2 = 256 + 4 = 260 (É solução ,lembrando que x.n = 16)
2^4 + 2^6 = 16 + 64 = 80 ( Não é solução, pois 4.6 ≠ 16)


Sua solução está correta e o gabarito errado.