Discutindo uma equação do 2° grau

(Mackenzie) A equação:
(3k-1)x² - (2k+3)x + (k-4) = 0, em x, com k≠(1/3), admite duas raízes reais a e b tais que a < 1 < b. O número de valores inteiros que k pode assumir é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Resposta: Alternativa b)

(Mackenzie) A equação:
(3k-1)x² - (2k+3)x + (k-4) = 0, em x, com k≠(1/3), admite duas raízes reais a e b tais que a < 1 < b. O número de valores inteiros que k pode assumir é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Resposta: Alternativa b)

Para que uma equação do 2° grau possua duas raízes reais o discriminante (ou delta) deve ser maior que zero. Assim:
∆ = [-(2k + 3)]² - 4(3k - 1)(k - 4)
∆ = 4k² + 12k + 9 - 12k² + 48k + 4k - 16
∆ = - 8k² + 64k - 7 > 0

Encontrando as raízes da eq. do 2° grau em "k":
∆ = 64² - 4.(- 8 )(-7)
∆ = 4096 - 224 = 3872
V∆ = V3872 ~= 62

k' = 0,125

k'' = 7,625

Os valores para k > 0 são os compreendidos no intervalo:
0,125 < k < 7,625

Os inteiros nesse intervalo são {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ou seja 7 termos!


P.S.: Não estou encontrando a resposta apontada com gabarito.

Pois é, eu também tinha feito a mesma coisa que vc, pra mim também deu 7 inteiros,e o resultado não batia. Bom talvez o gabarito esteja errado.

De qualquer forma, muito obrigado Mestre.

De nada!

Continuando de onde o mestre parou...

Para k = 1 -----> a < 1 < b ------> Aceita a condição.
Para k = 2 -----> a < 1 < b ------> Aceita a condição.
Para k = 3 -----> a < 1 < b ------> Aceita a condição.
Para k = 4 -----> b = 1 -----------> Não aceita a condição.
Para k = 5 -----> b < 1 -----------> Não aceita a condição.
Para k = 6 -----> b < 1 -----------> Não aceita a condição.

Ou seja, temos 3 valores para k.

Ahhh..., é verdade, esqueci de verificar a condição para as duas raízes(duas raízes reais a e b tais que a < 1 < b).

Valeu Werill, chequei agora todos os valores de k, sua resolução está certa mesmo!

Werill muito bem observado!

Thvilaça escreveu:(Mackenzie) A equação:
(3k-1)x² - (2k+3)x + (k-4) = 0, em x, com k≠(1/3), admite duas raízes reais a e b tais que a < 1 < b. O número de valores inteiros que k pode assumir é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Resposta: Alternativa b)

 A pergunta é : Quais números inteiros K pode assumir para que o número 1 fique entre as suas raízes  a e b??
Temos um teorema sobre a posição de um número real m em relação às raízes de um trinômio do segundo grau

Teorema : Se a.f(m)<0, então f admite dois zeros distintos, x1 < x2, e x1 < m < x2,
sendo (a) o coeficiente que vai com x^2
Usando deste teorema, temos a vantagem de não precisar encontrar as raízes da equação.
Ao exercício : 
(3k-1)x^2 -(2k+3)x + (k-4)=0
a=3k-1
f(1)=3k-1-2k-3+k-4=2k-8                 queremos a.f(m)<0 , com m=1 e a=3k-1
(3k-1)(2k-8 )<0.....................fazendo o estudo dos sinais para esta inequação, temos :
1/3 < k < 4, ou seja, k deve estar entre 1/3 e 4 ,excluso os dois, para que 1 fique entre as raízes da equação que foi dada.
Como é pedido somente os números inteiros, a resposta seria : 1,2 e 3, ou seja, temos 3 números inteiros que k pode assumir para que 1 fique entre as raízes

Obs.: Caso você tenha um tempo para analisar melhor, substitua k primeiro por 1,depois por 2 e ai por 3 na equação e constate que o número 1 sempre ficará entre as raízes da equação que foi obtida. Substituindo por maior ou igual à 4 ou menor ou igual à 1/3, você verá que o número 1 não fica mais entre as raízes da equação obtida.

Saudações guerreiros! Eu não sei bem o por quê, mas não gosto de ver uma determinada imposição sem saber de onde vem ou como vem. Eu estava resolvendo essa questão aqui e me deparei com um certo teorema. Eis a questão: link. Eu até que consegui resolver aquela questão, mas o meu método foi muito demorado, aí então que um ser divino (usuário) mostrou um teorema, mas não sei se é de fato válido; até que funcionou no meu caso. Mas gostaria mesmo é de uma prova genérica, assim funcionaria para todos os casos. Eis o que ele disse (o usuário que propôs o teorema, mas não que seja dele, lol):

Obi-Wan escreveu:

(Mackenzie) A equação:
(3k-1)x² - (2k+3)x + (k-4) = 0, em x, com k≠(1/3), admite duas raízes reais a e b tais que a < 1 < b. O número de valores inteiros que k pode assumir é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Resposta: Alternativa "b"

A pergunta é: quais números inteiros "K" pode assumir para que o número "1" fique entre as suas raízes "a" e "b"?
Temos um teorema sobre a posição de um número real "m" em relação às raízes de um trinômio do segundo grau.

Teorema: Se "a.f(m)<0", então "f" admite dois zeros distintos, "x1" < "x2", e x1 < m < x2, sendo "a' o coeficiente que vai com x²
Usando este teorema, temos a vantagem de não precisar encontrar as raízes da equação.

Ao exercício:
(3k-1)x^2 -(2k+3)x + (k-4)=0
a=3k-1
f(1)=3k-1-2k-3+k-4=2k-8

Queremos a.f(m)<0, com m=1 e a=3k-1
(3k-1)(2k-8 )<0
Fazendo o estudo dos sinais para esta inequação, temos :
1/3 < k < 4, ou seja, k deve estar entre 1/3 e 4, excluso os dois, para que 1 fique entre as raízes da equação que foi dada.
Como é pedido somente os números inteiros, a resposta seria: 1, 2 e 3; ou seja, temos 3 números inteiros que k pode assumir para que 1 fique entre as raízes

Obs.: Caso você tenha um tempo para analisar melhor, substitua k primeiro por 1,depois por 2 e aí por 3 na equação e constate que o número 1 sempre ficará entre as raízes da equação que foi obtida. Substituindo por maior ou igual à 4 ou menor ou igual à 1/3, você verá que o número 1 não fica mais entre as raízes da equação obtida.

Alguém saberia provar esse teorema, e qual é o seu nome? Tem nome, que criou? Tipo essa informações; é claro, tudo na medida do possível.
Ah.. já ia me esquecendo, a questão original é essa daqui:

Mackenzie – A equação:
(3k - 1)x² - (2k + 3)x + (k - 4) = 0, em x, k ≠ 1/3, admite duas raízes reais "a" e "b" que a < 1 < b. O número de valores inteiros que k pode assumir é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Questão em imagem:

Esse teorema você o encontra no livro do Gelson Iezzi, famoso FME de funções. Acho que ele não tem um nome específico. Se você quiser, me passe o seu email e daí eu te passo o livro e informo certinho em que página está o conteúdo sobre esse tema.