Geometria Analitica envolvendo Quadrado.

Dados A(-2,4) e B(3,-1) vértices consecutivos de um quadrado determinar os outros dois vértices.?

Pode fazer por complexo ?

A=(-2, 4)
B=(3, -1)
lado do quadrado: L = d_AB = √[(-2-3)²+(4+1)²] = √(25+25) -----> L = 5√2

declividade da reta r, suporte de AB: m = (4+1)/(-2-3) -----> m = -1

como trata-se de um quadrado, os outros vértices estarão sobre as retas perpendiculares a r e que passam por A e B. A declividade dessas retas será:
m' = -1/m -----> m' = 1
ora, essa declividade é a de um ângulo θ=45º. Isso facilita achar os outros pontos.

Cx = Bx ± L*cos45º -----> Cx = 3 ± 5√2*√2/2 -----> Cx = 3 ± 5 -----> Cx = -2 ....ou.... Cx = 8
Cy = By ± L*sen45º -----> Cy = -1 ± 5√2*√2/2 -----> Cy = -1± 5 ----> Cy = -6 ....ou.... Cy = 4
portanto, C=(-2, -6) ou C=(8, 4)

Dx = Ax ± L*cos45º -----> Dx = -2 ± 5√2*√2/2 -----> Dx = -2 ± 5 -----> Dx = -7 ....ou.... Dx = 3
Dy = Ay ± L*sen45º -----> Dy = 4 ± 5√2*√2/2 -----> Dy = 4 ± 5 ------> Dy = -1 .....ou.... Dy = 9
portanto, D=(-7, -1) ou D=(3, 9)

o quadrado pode ser:
A, B, C(-2,-6), D(-7, -1)
ou
A, B, C(8, 4), D(3, 9)

Po vlw, eu tinha feito por Vetores ... Mas eu queria essa resolucao vlw !!

Al.Henrique, pode sim ... Se puder poste sua solucao aqui =D

Lukash10 escreveu:Dados A(-2,4) e B(3,-1) vértices consecutivos de um quadrado determinar os outros dois vértices.?

Ja que pode, espero que entenda de complexo e vetores.

Seja o vetor AB , o lado do quadrado, onde A e B são seus afixos (pontos)

Podemos escrever o vetor AB com sendo (B-A).

Como estamos trabalhando nos eixos dos Complexos ,e A e B têm os pontos citados em questão, então podemos dizer que :

A = -2 + 4i
B = 3 - i

Dado que , se temos um afixo de um numero complexo, podemos escreve-lo sob a forma Z = x + yi

Então o vetor AB será :
(3 - i) - (-2 + 4i) = 5 - 5i

Seu módulo será √(5² + (-5)² = 5√2
Ou seja, o quadrado tem lado 5√2, ja que é o módulo do vetor.

Mas pareceba que se rotacionarmos o vetor 90º, acharemos o outro vértice C.
Mas... porque 90º ? Ora.. é 90º pois é o ângulo interno do quadrado e, consequentemente, o ângulo entre o vetor AB e o vetor BC.

Vamos rotacionar o vetor então.
No campo dos complexos, quando queremos girar um vetor de um ângulo θ, basta que o multipliquemos por cis(θ). No caso em questão , nos interessa rotacionar ∏/2, então usaremos cis(∏/2).

Em outras palavras:

AB . cis(∏/2) = BC
(5-5i).(cos(∏/2) + isen(∏/2)) = C-B
(5-5i)i + B = C
C = 5i -5i² + 3 - i
C = 4i + 8
C = 8 + 4i

Então C é o ponto (8,4).

Eu fiz o primeiro ponto C ,só para lhe mostar como é o procedimento. Se quiser aprender mais sobre essa poderosa ferramenta eu te indico um livro!

Boa resolução, Henrique. Usando complexos fica bem mais direto e rápido.
Para achar o outro ponto C simétrico, multiplicamos por -i para rotacionar o vetor em -90º:
C' = -i(5-5i) + B
C' = -5 - 5i +3 - i
C' = -2 - 6i --------------> C' = (-2, -6)

Pois é , você pode girar tanto no sentido horario ,quanto no anti-horario, só que em cada sentido, você ta achando um quadrado.

To ligado, outro metodo e geometricamente , colocando no plano cartesiano e observando as coordenadas nem precisa de contas. Qual livro de Vetores ta usando Henrique?? Alg Linear do Venturi??

Nao Lukas ,provavelmente ele deve usar o Livro do Caio Guimarães: Números Complexos e Polinômios até tem uma questao praticamente igual a essa que vc postou no livro, é só entrar no site da vest seller..
Espero ter ajudado