UFMG 2006 - Probabilidade condicional

Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas.O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param: se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá; e se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá. Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18. Então o outro cubo tem quantas faces brancas?

Resp: 4

Consegui chegar no resultado fazendo:
número de faces brancas no cubo II: x
número de faces pretas no cubo II: 6-x
5/6 . x/6 + 1/6 . (6-x)/6 = 11/18

Porém, não entendo uma coisa: eu não deveria ter que multiplicar cada membro da adição pela permutação de 2? afinal para que as duas faces sejam brancas, por exemplo, pode-se cair uma face branca no primeiro seguida de outra no cubo II OU o contrário... pq esse raciocínio está errado?

Dado I: 1,2,3,4,5 são B e 6 P

Dado II: x são B e 6-x são P

U = {(1;1), (1;2) ... (6;6)}

n(U) = 36

Suponha que o Dado II seja:

1,2,3,4 B e 5,6 P

Para dar B nos dois dados

B = {1;2;3;4;5} x {1;2;3;4} = { (1;1), (1;2) ... (5;4) }

n(B) = 20

P = {6} x {5;6} = { (6;5); (6;6) }

n(P) = 2

p(P ou B) = p(P) + p(B)

p(B)= n(B)/n(U) = 20/36

p(P) = n(P)/n(U) = 2/36

p(P ou B) = 22/36 = 11/18

Repare que o que você fez foi exatamente isto:

5/6 . x/6 + 1/6 . (6-x)/6 = 5x/36 + (6-x)/36 =

5.4/36 + 1.2/36 = 22/36 = 11/18.

Agora pense que não é simultâneo o lançamento:

Poderíamos ter:

Dado I: 5 B e 1 P

Dado II: 4 B e 2 P

BB: (5/6)(4/6)

ou

PP: (1/6)(2/6)

Se você trocasse a ordem, o 1º dado sendo o II, fora a ordem dos fatores, nada muda, o resultado é o mesmo:

BB: (4/6)(5/6)

PP: (2/6)(1/6)

Poderia ser um resultado OU EXCLUSIVO o outro, sendo que ambos têm a mesma probabilidade.

Se ainda estiver com dúvidas responda a essa pergunta:

Ao arremessarmos dois dados, qual a probabilidade do resultado ser 6 e 6 ?

Tanto faz a ordem dos dados: (6;6) = (6;6)

Troque números por cores...

Tem razão, é como se fosse a probabilidade de uma combinação... Muito obrigada pela paciência!

Prezadas e prezados!

No caso em questão, entendi da seguinte maneira:

PRIMEIRO_Casos favoráveis ao evento (Leandro vencerá): 

5, no primeiro dado. e x, no segundo dado.

OU

1, no primeiro dado. e 6 - x, no segundo dado.


SEGUNDO_Espaço amostral: 36(todas as combinações possíveis entre dois dados de seis lados cada um)


TERCEIRO_ MONTE A PROPORÇÃO E, SEM SEGUIDA, IGUALE-A À PROPORÇÃO DADA.


Posto isso, basta fazer as contas:

(5*x) +[1*(6-x)] divididos por 36 = 11/18


x = 4.