números complexos

por **Bruna Barreto** Seg 14 maio 2012, 19:20

u=(1 + i)
e v=(1 - i)
calcular:u^52.v^-51
pessoal tentei fazer formula de Moivre ... mas fica um estranho rs

Spoiler:

por **Al.Henrique** Seg 14 maio 2012, 19:35

Passando u para a forma trigonométrica :
|u| = √2
Arg(u) = ∏/4

Logo : u = √2 . cis(∏/4)

Guardemos essa equação.

Passando v para a forma trigonométrca :
|v| = √2

cosθ = √2/2
senθ = -√2/2

.'. Arg(v) = 7∏/4

Logo : v = √2 . cis(7∏/4)

Decorre da questão o produto :
u^52.v^-51

u^52 = (√2)^52. cis(52.∏/4) = 2^26 . cis(13∏) = 2^26. cis(12∏ + ∏) = 2^26.cis(∏)

v^-51 = (√2)^-51.cis(-51.7∏/4) = 2^-51/2 . cis(-357∏/4) = 2^-51/2. cis(-88∏-5∏/4)

Portanto v^-51 = 2^-51/2 . cis(-5∏/4)

O produto entre dois complexos w e k é feito como :

w.k = |w|.|k| . cis( arg(w) + arg(k) )

Logo o produto em questão é dado por:

u^52.v^-51 = 2^26.2^-51/2 . cis(∏-5∏/4)

2^26 . 2^-51/2 . cis(∏-5∏/4) = 2^1/2 . cis(-∏/4)

Segue então :

u^52.v^-51 = √2 . [cos(-∏/4) + isen(-∏/4)] = √2 [√2/2 - i .√2/2 ] = 1-i

Gabarito :
u^52.v^-51 = 1-i

por **Bruna Barreto** Seg 14 maio 2012, 19:45

Henrique até ai eu também fiz srsrs... mas quando aplica Moivre fica uma coisa estranha faz só para vc ver... e nao bate com a resposta que é V :scratch:

por **Al.Henrique** Seg 14 maio 2012, 19:50

Bruna, agora a solução está completa..

por rihan Seg 14 maio 2012, 20:28

A fórmula de De Moivre é, para o caso mais completo:

Seja u = cos(a) + i.sen(a) = cis(a)

(u^m) = (|u|^m).cis(m.a)

|u| = V(2) = |v|

u = |u|.cis(45°)

v = |v|.cis(-45°)

u^52 = (|u|^52).cis(52.45°)

v^-51 = (|v|^-51).cis((-51).(-45°))

(u^52)(v^-51) = |v|.cis(52.45° + 51.45°)

(u^52)(v^-51) = |v|.cis(103.45°)

8.45° = 360°

103 MOD 8 = 7

Ou 103 = 12.8 + 7 = 96 + 7

7.45° = 315° = -45°

(u^52)(v^-51) = |v|.cis(-45°) = v

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