Demonstração da fórmula do espaço no MUV

por **JOAO [ITA]** Qui 05 Abr 2012, 14:48

Vejamos o gráfico (V x t) do Movimento Uniformemente Variado(MUV)

Demonstração da fórmula do espaço no MUV Grfico1b

Provarei a fórmula de dois modos diferentes. Um fácil (por Geometria) e outro um pouquinho mais difícil usando Cálculo Integral.

1º modo:

(eq.1) :

S(trapézio)= $\frac{(B+b).h}2{} <=> \frac{[(V_{0}+a.t)+(V_{0})].t}{2}=\frac{2V_{0}.t+a.t^{2}}{2}=V_{0}.t+\frac{a.t^2}{2}$

(eq.2) :

S(trapézio)= $\Delta S = S - S_{0}$

$\Delta S = S - S_{0}=V_{0}.t+\frac{a.t^2}{2}<=>\\S-S_{0}=V_{0}.t+\frac{a.t^2}{2}<=>S=S_{0}+V_{0}.t + \frac{a.t^2}{2}\\ \\ C.Q.D$

2º modo:

Achando a equação da reta, temos:

$\frac{x-0}{t-0}=\frac{y-V_{0}}{V-V_{0}}<=>\frac{x}{t}=\frac{y-V_{0}}{V-V_{0}} <=>\\ \frac{x}{t}=\frac{y-V_{0}}{\Delta V_{0}}<=>y=\frac{x.(\Delta V)+V_{0}.t}{t}<=>\\ f(x)=\frac{x.a.t+V_{0}.t}{t}<=>f(x)=\frac{t.(x.a+V_{0})}{t}<=>\\ f(x)=ax + V_{0}$

.Usando Integrais Definidas, temos:

(eq.1):

S(trapézio) = $\int_{0}^{t}f(x)\,\, dx$

S(trapézio) = $\int_{0}^{t}(ax + V_{0})\,\,dx = \frac{t.(at + 2V_{0})}{2}-\frac{0.(a.0+ 2V_{0})}{2}=V_{0}.t+\frac{a.t^2}{2}$

(eq.2):

S(trapézio) = $\Delta S=S-S_{0}$

Mas :

eq1 = eq2 <=>

$\Delta S=S-S_{0}=V_{0}.t+\frac{a.t^2}{2}<=>S=S_{0}+V_{0}.t+\frac{a.t^2}{2}\\ \\ \,\,C.Q.D$

cheers

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