triângulo-medida da reta paralela a BC

por rodrigomr Qua 28 Mar 2012, 14:38

Em um triângulo ABC têm-se AB=10cm, AC=12cm. O incentro(i) e o baricentro (g) estão em uma mesma paralela a BC. A medida do lado BC é igual a:

gabarito: 11

por rodrigomr Qui 29 Mar 2012, 08:18

alguém sabe?

por matheuss_feitosa Qui 29 Mar 2012, 19:10

Se o ponto I é o incentro do ∆ABC, também é o centro da circunferência inscrita a ele.

Sejam r o raio, DE a reta paralela à BC, H o ponto médio de BC, G o baricentro, BF a bissetriz do ângulo A^BC, AI a bissetriz do ângulo EÂD, x a medida do lado BC e α o ângulo A^CB,

Podemos escrever a área A do triângulo em função de p e r:

$A=\frac{(12+10+x)\cdot r}{2}$

Logo,

$(1)r=\frac{A}{\left(11+\frac{x}{2}\right)}$

Ainda,

$A=\frac{12\cdot x\cdot\sin\alpha}{2}$

$(2) \sin\alpha=\frac{A}{6x}$

Sendo AH a mediana relativa a BC, temos que AG vale 2/3 de AH, ou seja, os ∆AED e ∆ABC são semelhantes a uma razão de 2/3, AE=2AB/3=20/3, AD=2AC/3=8 e DE=2BC/3=2x/3.
Agora, pelo teorema da bissetriz interna,

$\frac{EI}{EA}=\frac{ID}{DA}$

$\frac{\frac{2x}{3}- ID}{\frac{20}{3}} = \frac{ID}{8}$

$ID=\frac{4x}{11}$

No triângulo IDF, por relação de paralelismo, os ângulos IDF e α são iguais. Se IF é raio da circunferência inscrita, vale r e toca perpendicularmente o lado AC, que tange a circunferência, portanto,

$\sin\alpha=\frac{r}{\frac{4x}{11}}$

Igualando sinα e substituindo r, chegamos à resposta.

$\frac{A}{6x}=\frac{11\cdot\frac{A}{11+\frac x2}}{4x}$

$\frac{1}{6x}=\frac{11}{\left(11+\frac x2\right)\cdot 4x}$

$x=11$

Abraços. cheers

por rodrigomr Seg 02 Abr 2012, 08:36

Por que os triângulos são semelhantes a uma razão de 2/3?

por matheuss_feitosa Seg 02 Abr 2012, 12:32

Propriedade do baricentro (ponto onde concorrem as medianas de um triângulo):
"Sendo AH a mediana relativa a BC, temos que AG vale 2/3 de AH, ..."
E GH vale 1/3 de AH.