geometria analítica

Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o vetor
BC , onde A(5, 1, 3), B(-3, 9, 3) e C(1,1,2).

Supondo uma base ortonormal.
e
• Indica produto escalar
* indica multiplicação
x indica produto vetorial
A(5, 1, 3), B(-3, 9, 3) e C(1,1,2)
BA = (8,-8,0)
BC = (4,-8,-1)
Para encontrar a areá de ABD devemos efetuar o produto (BD x AD), calcular a norma do vetor resultante e dividi-lá por 2

Calculo de BD
A Proj de BA sobre BC = BD = (BA•BC)/(BC•BC)*BC => BD = [(8,-8,0)(4,-8,-1)]/[(4,-8,-1)(4,-8,-1)]*(4,-8,-1)
BD = (32+64+0)/(16+64+1)*(4,-8,-1)
BD = 96/81*(4,-8,-1)
BD = 32/27*(4,-8,-1)
BD = (128/27, -256/27,-32/27)

Calculo de AD
Seja AD = (a,b,c)
Veja que: BA + AD = BD => BA = (8,-8,0) + (a,b,c) = (128/27, -256/27,-32/27)
Sistema:
8+a = 128/27 -> a = -88/27
-8 + b = -256/27 -> b = -40/27
0 + c = -32/27 -> c = -32/27

Logo AD = ( -88/27,-40/27,-32/27)

Agora efetuemos BD x AD:

BD x AD =| i               j           k   |
                |128/27 -256/27 -32/27|
                | - 88/27  -40/27   -32/27|
BD x AD = 6912i/729 + 6912j/729 - 27648k/729
||BD x AD||² = (6912/729)² + (6912/729)² + (-27648/729)²
||BD x AD|| = 40,22


A areá é ||BD x AD||/2 = 20,11

-Pronto, corrigido ^^
Troquei os sinais que estão em vermelho.

Os cálculos desta questão são muitos trabalhosos, vixe maria.