ÁLGEBRA - CONJUNTOS

Por favor, quem puder ajudar a resolver esse exercício, eu muito agradeceria.

(FAAP-SP) Uma prova era constituída de dois problemas. 300 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova?

Resposta: 450 alunos.

(esse "somente" que me complicou na resolução!)
Se for possível resolver pelo diagrama de Venn, seria melhor.

Desde já, obrigado!

300 + 260 + 100 - 210 = 450

Mas eu não entendi o porquê.

Comece sempre pela interseção, assim 100 acertaram os dois --> nº que acertaram o 2º problema será 260-100=160
Quando ele fala que 300 acertaram somente um dos problemas --> 300 alunos acertaram só um dos dois, ou seja, a soma dos que acertaram o 1º problema + os que acertaram o 2º problema será 300, como já sabemos que 160 acertaram só 2º --> 300-160=140 acertaram só o 1º. O enunciado ainda nos diz que 210 erraram o 1º problema, esses ou erraram os dois ou acertaram somente o 2º --> sendo k o número de alunos que erraram os dois temos:
k+160=210 --> k=50, o total de alunos será, portanto:
140+100+160+50=450.

Para fazer é mais fácil com o Diagrama de Venn. Desenhe-o.

A = acertaram o problema A
B = acertaram o problema B

a = acertaram SOMENTE o problema A
b = acertaram SOMENTE o problema B

d = acertaram os dois problemas

n = não acertaram nenhum dosi problemas

Dados do enunciado:

a + b = 300 ----> I

B = 260 ----> II

d = 100 ----> III

b + n = 210 ----> IV

Temos:

a + d = A ----> a + 100 = A ----> V

b + d = B -----> b + 100 = 260 -----> b = 160 -----> VI

I ----> a + 160 = 300 ----> a = 140

V ----> 140 + 100 = A ----> A = 240

IV ----> 160 + n = 210 ----> n = 50

Total de alunos = a + b + d + n = 140 + 160 + 100 + 50 = 450

Obrigadoooooh!