Polinômios - UFMA

Eu não sei...parece fácil...mas eu acho que to me confundindo em alguma coisa....

Sem efetuar a divisão, encontre o valor de p e q reais, de modo que o polinômio x^4 + 1 seja divisível por x² + px + q.

Se x^4 + 1 é divisor do polinômio, então eu tenho que fazê-lo igual a 0?

To confundindo bobeira, eu acho o.O. Alguém pode me ajudar?

polinômio I) x^4 + 1 = 0 => x^4 = -1
polinômio II)x² + px + q
a)soma das raízes do polinômio II = -b/a= -p/1
b)produto das raízes do polinômio II = c/a = q
c)raízes de um polinômio = |z|^(1/n) cis {[a + 2k(pi)]/n}, onde |z| é módulo do número complexo, n é o grau do polinômio, a é o argumento e k é inteiro tal que -1 < k < n

No polinômio I) temos z = -1, |z| = 1, n = 4, a = (pi), daí podemos obter as raízes deste polinômio, substituindo na equação c, todos valores possíveis de k:
k=0=>x=2^(1/2)/2 + 2^(1/2)*i/2
k=1=>x= - 2^(1/2)/2 + 2^(1/2)*i/2
k=2=>x= - 2^(1/2)/2 - 2^(1/2)*i/2
k=3=>x= 2^(1/2)/2 - 2^(1/2)*i/2

Bem, para que I seja divisível pelo polinômio II, as raízes deste devem ser também raízes do primeiro. Então a soma das raízes deve ser real uma vez que esta soma é dada por -p e p é real.Daí temos:
I) k=0 e k=1 => -p=2^(1/2)i
II)k=0 e k=2=> -p=0
III)k=0 e k=3=> -p= 2^(1/2)
IV)k=1 e k=2=> -p= - [2^(1/2)]
V)k=1 e k=3=> -p=0
VI)k=2 e k=3=> -p= - [2^(1/2)]i

perceba que já podemos descartar as opções I e VI, pois neste casos, p é um número imaginário. Agora vejamos o produto das raízes que deve ser também real uma vez que é numericamente igual a q que é um número real. vejamos as possibilidades para as opções ainda válidas:
II)q= -i
III)q = 1
IV)q=1
V)q=i

já podemos descartar II) e V) e podemos concluir que p=2^(1/2) ou
p= - [2^(1/2)] e q = 1

Acredito que essa seja a forma de resolução,bate com o gabarito?

Então, Leandro, de acordo com o gabarito os valores que vc postou estão corretos, porém os mesmos aceitam os valores positivos e negativos.... +-2^(1/2) e +-1...

Questão tensa *.*
Obrigado...qlq dúvida tenha certeza que eu retorno a perguntar, rs...

De nada, gostei de resolver essa questão! Só não sei como o q também pode ser negativo, devo ter errado algum sinal, rsrsrsrs

Ficarei feliz em ajudar sempre que puder

bons estudos