Matriz/sistema linear

Olá, estou revisando matrizes e sistemas lineares e gostaria de entender por que se o determinante da matriz dos coeficientes (D) for zero e todos os demais determinantes (Dx) - das matrizes obtidas substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita pelos termos conhecidos - também forem zero, o sistema é possível e indeterminado. Eu consegui entender por que x = Dx/D, mas ainda não compreendi por que 0/0 indica que há várias soluções e, portanto, o sistema é possível e indeterminado. Desde já, obrigado pela ajuda!

Imagine o sistema:

x + y = 0

2x + 2y = 0


Δ = 2 - 2 = 0

Δx = 0 - 0 = 0

Δy = 0 - 0 = 0


Agora olhe as equações:

A 2ª e a 1ª se equivalem, são proporcionais, resumem-se em:

x + y = 0

Que tem infinitas soluções:

x = -y

Sendo possível, mas indeterminado.

Imagine sempre um "sistema de equações" como a busca de UM PONTO. Vamos chamá-lo de S.

Se houver duas incógnitas o ponto S vai ser representado por S (x; y). Havendo 3, por S (x; y; z), com 4 por S (x; y; z; w) e aí vai.

E o que é esse "ponto" ?

Podemos enxergá-lo de várias maneiras:

1) Esse "ponto" satizfaz a todas as equações.

2) Ele é a interseção de todas as funções (ou conjuntos de pontos representados pelas equações).

Quando temos 2 variáveis, cada equação pode ser vista como uma equação de uma linha.

Se forem lineares, representam, cada uma, uma reta. A solução é a interseção dessas duas retas.

Se não forem paralelas, vão se encontrar em um ponto. O pessoal chama isso de "Possível e Determinado".

Se as duas equações se equivalem, a interseção de uma reta com ela mesma é ela mesma :face: ...

E cada um dos pontos de todos os infinitos pontos da reta é uma solução, o dito "possível, mas indeterminado".

Nesses casos todos os Δs são nulos.

Quando as retas são paralelas não há interseção, não há ponto comum, não há solução. Isso ocorre quando o Δ é zero e os Δx e Δy são diferentes de zero. Chama-se então de "Impossível" ou "Imcompatível"...

Com 3 variáveis podemos pensar no espaço. Com 4 ou mais podemos até ter interpretações geométricas, mas elas atrapalham mais que ajudam.

Pensar em 2 variáveis, ou até mesmo três, e compreender este "ponto" solução é o que interessa.

E você pode passar a classificar o sistemas assim:

Tem 1 ponto-solução = Possível (Compatível) e Determinado

Tem infinitos pontos-solução = Possível e Indeterminado

Não tem qualquer ponto-solução = Impossível (Imcompatível)


Saudações sistemáticas !

Olá, rihan, muito obrigado pela resposta! Então, todas as retas de um sistema formado por equações semelhantes são coincidentes, sendo este sistema possível e indeterminado, certo? Então, se as equações são semelhantes, nas matrizes associadas ao sistema teremos sempre filas paralelas proporcionais e, por isso, determinantes iguais a zero. Seria, então, por isso que os determinantes iguais a zero indicam sistema possível e indeterminado? Esse pensamento só se aplicaria a sistemas homogêneos ou não? Mais uma vez, obrigado pela luz (:

Isso !

Você compreendeu o essencial !

Esquece os nomes que os outros dão.

Comece a dar os SEUS nomes àquilo que você entende.

Faça o SEU dicionário. Tal "coisa" é isso "aqui", que eu entendo sim, porque eu que nomeei.

Mas não se restrinja a 2 dimensões... retas...

Nem a 3... planos... retas... espaços...

Estenda a "n" dimensões, independentemente de você conseguir visualizar, o que é impossível, mesmo pra "eles".

Descartes disse algo assim:

"Eu não consigo VER um miriágono, mas consigo entendê-lo logicamente..."

Miriágono é um polígono com MIL lados...

Não importa se conseguimos ver ou não ver, precisamos ENTENDER...

Quase nada tem modelos visuais... !!!!

São bons ? São sim, facilitam !

Mas temos a única coisa que nos diferencia dos restantes dos animais !!!!

A capacidade de fazer parábolas, exemplos, relações, métricas, metáforas, correlações...

Muito mais rapidamente que os "outros" bichos !

Um ponto com "quarenta e quinze" dimensões...

É a solução para um sistema com "quarenta e quinze" incógnitas, se ela existir.

Quem nos limita somos nós mesmos.

Os outros pensam que nos limitam...

Ledo engano...

Os matemáticos, como qualquer outro "grupo", tentam simplificar as coisas para eles, sem se importar com o "resto" (nós...).

Isso é da Natureza dos "grupinhos" e nunca vai deixar de existir...

Criam termos mal criados... Criam "palavrões" incompreensíveis para qualque mortal !

E acham o máximo. É a típica atitude dos grupelhos...

Mas você é mais inteligente do que "isso" !!!

Traduza para você o que eles querem complicar e curta com a cara deles :twisted: !

Você vai se tornar capaz de entendê-los, mas eles não...

Contrua os SEUS exemplos e busque as SUAS verdades !"

E Vamos Lá ! Ilimitados !

Saudações !