Portugal - Inteiros

Ache o menor inteiro positivo que possui 1994 divisores.

Não possuo gabarito. Obrigado.

Seja n o inteiro desejado. A fatoração de n em primos é n = p1^e1 * p2^e2 * ... * pk^ek, onde {p1, p2, ..., pk} são os fatores primos e {e1, e2, ..., ek} os expoentes correspondentes. Assim, o número de divisores é dado por:

(e1 + 1)(e2 + 1)...(ek + 1) = 1994

Note que 1994 é fatorado como 2 * 997. Daí:

(e1 + 1)(e2 + 1)...(ek + 1) = 2 * 997
(e1 + 1)(e2 + 1) = 2 * 997

e1 = 996 ou e1 = 1
e2 = 1 ou e2 = 996

Os menores valores para p1 e p2 são 2 e 3, respectivamente, então o expoente de p1 deve ser o maior possível para minimizar o produto: e1 = 996. Com isso, e2 = 1. Portanto, chegamos a

n = 2^996 * 3