Rússia - Inteiros
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Rússia - Inteiros
por theblackmamba Seg 23 Jan 2012, 11:16
A soma dos algarismos de um inteiro positivo n no sistema de numeração decimal é igual a 100 e a soma dos algarismos do número 44n é 800. Encontre a soma dos algarismos do número 3n.
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Re: Rússia - Inteiros
por Gavrilo Qui 26 Jan 2012, 18:10
@abelardo
Se aplicarmos o mesmo raciocínio para encontrar a soma dos algarismos de 44n, chegamos a uma contradição. O cálculo se reduz a 44(a + b + c + ...) = 44 * 100 = 4400, mas o enunciado afirma que a soma dos algarismos de 44n é 800.
Acredito que o erro seja considerar 3a, 3b, 3c... algarismos, o que não é necessariamente verdade. Se a = 5, por exemplo, 3a = 15.
Se aplicarmos o mesmo raciocínio para encontrar a soma dos algarismos de 44n, chegamos a uma contradição. O cálculo se reduz a 44(a + b + c + ...) = 44 * 100 = 4400, mas o enunciado afirma que a soma dos algarismos de 44n é 800.
Acredito que o erro seja considerar 3a, 3b, 3c... algarismos, o que não é necessariamente verdade. Se a = 5, por exemplo, 3a = 15.
Última edição por Gavrilo em Sex 27 Jan 2012, 11:38, editado 1 vez(es)
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Re: Rússia - Inteiros
por abelardo Sex 27 Jan 2012, 02:43
Amigo Gabrilo, analise a minha resolução para quando multiplicarmos n por 44.
 \\4n\cdot 10=4\cdot (10^{m+1}a+10^{m}b+10^{m-1}c+...) \\ {\color{Blue} 4n\cdot 10}={\color{Red} 10^{m+1}(4\cdot a)+10^{m}(4\cdot b)+10^{m-1}(4\cdot c)+...} \\ {\color{Blue} 4n\cdot 10}={\color{Red} 4} \cdot(a+b+c+...)=400 \\\\\\ 4n=4\cdot (10^{m}a+10^{m-1}b+10^{m-2}c+...).. \\ {\color{Blue} 4n} ={\color{Red} 10^{m}\cdot(4\cdot a)+10^{m-1}\cdot(4\cdot b)+10^{m-2}\cdot(4\cdot c)+...} \\ {\color{Blue} 4n}={\color{Red} 4}\cdot (a+b+c+...)=400 \\\\ {\color{Blue} 4n\cdot 10}+{\color{Blue} 4n}=400+400=800 "\\n=abc...=10^{m}a+10^{m-1}b+10^{m-2}c+... \to a+b+c+...=100 \\44n=4n\cdot 10+4n \\\\\\ 4n\cdot 10=4\cdot 10\cdot \left (10^{m}a+10^{m-1}b+10^{m-2}c+... \right ) \\4n\cdot 10=4\cdot (10^{m+1}a+10^{m}b+10^{m-1}c+...) \\ {\color{Blue} 4n\cdot 10}={\color{Red} 10^{m+1}(4\cdot a)+10^{m}(4\cdot b)+10^{m-1}(4\cdot c)+...} \\ {\color{Blue} 4n\cdot 10}={\color{Red} 4} \cdot(a+b+c+...)=400 \\\\\\ 4n=4\cdot (10^{m}a+10^{m-1}b+10^{m-2}c+...).. \\ {\color{Blue} 4n} ={\color{Red} 10^{m}\cdot(4\cdot a)+10^{m-1}\cdot(4\cdot b)+10^{m-2}\cdot(4\cdot c)+...} \\ {\color{Blue} 4n}={\color{Red} 4}\cdot (a+b+c+...)=400 \\\\ {\color{Blue} 4n\cdot 10}+{\color{Blue} 4n}=400+400=800")
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Re: Rússia - Inteiros
por Gavrilo Sex 27 Jan 2012, 11:43
Interessante, acho que agora consegui entender a veracidade da resolução. De fato, o raciocínio não daria necessariamente certo para qualquer valor de n, por exemplo:
- Soma dos algarismos de 15: 1 + 5 = 6
- Soma dos algarismos de 15 * 3 = 45: 4 + 5 = 9
Isso porque 3 * 5 é um número de 2 algarismos. Mas o enunciado deu a soma dos algarismos de 44n justamente para mostrar que, para qualquer algarismo a, 4a também é um algarismo. Como consequência, 3a também deve ser um algarismo.
- Soma dos algarismos de 15: 1 + 5 = 6
- Soma dos algarismos de 15 * 3 = 45: 4 + 5 = 9
Isso porque 3 * 5 é um número de 2 algarismos. Mas o enunciado deu a soma dos algarismos de 44n justamente para mostrar que, para qualquer algarismo a, 4a também é um algarismo. Como consequência, 3a também deve ser um algarismo.
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