Trigonometria - Equações.

Calcule:
a) arcsen [sqrt{3}x - 1] = arcosx
b) arccos 2sqrt{13}/13 = arctg (x + 1/2)



Alguém poderia explicar COMO FAZ esse tipo de questão. Acho que falho nelas por que não entendo a parte de arco seno, arco tg, arco cotg... Grato, desde já. \o/

Se:

f(x) = sen(x)

A função inversa é:

f-¹(x) = arcsen(x)

A função inversa arcsen(x) ( ou arsen(x) ou asen(x) ) tem que ter seu contradomínio limitado para continuar sendo função, já que:

sen(30°) = sen(150°)

Todos os arcos côngruos de 30° e de 150° tem seu seno valendo 1/2.

Então, limita-se o codomínio desta função arcsen ao intervalo real [-Π/2; Π/2].

Seja:

sen(30°) = sen(Π/6) = 1/2

A solução de

asen(1/2) = x

É:

x = Π/6

E a de:

asen(-1/2) = x

É:

x = -Π/6

Para equações mais elaboradas, parte-se sempre de:

arsen(x) = arsen(y) ⇔ x = y

Seja a equação:

asen(x/2) = asen(1-x)

Como se deve ler o que está escrito aí ?

Assim:

"Para quais x o arco cujo seno é (x/2) é igual ao arco cujo seno é (1-x) ?

x/2 = 1-x

x = 2 - 2x

3x = 2

x = 2/3

Quando não tivermos a mesma função em ambos os lados da equação, nós temos que providenciar isso...

Seja:

asen(x/2) = acos(1-x)

Temos seno de um lado e cosseno do outro ...

Mas sabemos que:

sen²(a) + cos²(a) = 1

Logo:

sen²(a) = 1- cos²(a)

Então:

(x/2)² = 1 - (1 - x)²

x²/4 = 1 - (1 -2x + x²)

x²/4 = 1 - 1 + 2x - x²

5x² -8x = 0

x.( 5x - 8 )= 0

x = 0 ou x = 8/5


Saudações inversas !

E Vamos Lá !