Trigonometria (equações, identidades...)

por Andre Ampère Sex 24 Ago 2018, 17:31

\text{Se }tga \text{ e }tgb \text{ s\~ao raizes da equa\c{c}\~ao }x^{2}+px+q=0 \\\text{ , calcule o valor simplificado da express\~ao:}\\
y=sen^{2}(a+b)+p.sen(a+b)cos(a+b)+q.cos^{2}(a+b).\\
\text{Considere } p,q\in \Re \text{ com }q\neq 1

por math88 Sex 24 Ago 2018, 18:27

Como tan(a) e tan(b) são raízes de x^2+px+q, temos que Q(x) = x^2+px+q = (x - tan(a))*(x-tan(b)) \\ ,
Além disso:
sen(a+b)^2 +p*sen(a+b)*cos(a+b)+q*cos(a+b)^2 = \\ cos(a+b)^2*(tan(a+b)^2+p*tan(a+b)+q) = \\ cos(a+b)^2*Q(tan(a+b)) \\
(Isso desconsiderando o caso cos(a+b) = 0),
Logo \\ cos(a+b)^2*Q(tan(a+b)) = \\ cos(a+b)^2*(tan(a+b)-tan(a))*(tan(a+b)-tan(b)) \\ \\.
Sendo:
\\ tan(a+b) - tan(a) = \frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)tan(b)} - tan(a) = \frac{tan(b)+tan(a)^2tan(b)}{1-\frac{sen(a)sen(b)}{cos(a)cos(b)}} = \\ cos(a)*cos(b)*\frac{tan(b)(1+tan(a)^2)}{cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)} = \\ cos(a)*cos(b)*\frac{tan(b)*\frac{1}{cos(a)^2}}{cos(a+b)} = \\ \frac{sen(b)}{cos(a+b)*cos(a)}
Analogamente tan(a+b) -tan(b) = \frac{sen(a)}{cos(b)cos(a+b)} \\ \\ Logo: \\ cos(a+b)^2*(tan(a+b)-tan(a))*(tan(a+b)-tan(b)) = tan(a)*tan(b) \\ , como tan(a) e tan(b) são raizes de Q(x) seu produto é q/1 = q.