[UFJF 2006] Circunferência - Razão entre raios

por Ferrus Ter 03 Jan 2012, 13:00

Considere uma circunferência de raio R e três circunferências menores de raio r tangentes internas a ela e tangentes externas entre si. A razão entre os raios R e r é:

a) 2
b) (3V3)/2
c) [2(V3)+3]/3
d) {3[(V2)-2]}/2
e) 2(V3)+1

V = símbolo da raiz
P.S.: A questão não tem figura.

Quem puder me ajudar desde já agradeço! ^^

por methoB Ter 03 Jan 2012, 13:24

[UFJF 2006] Circunferência - Razão entre raios Semttulopt.th

pensei nisso , mas não achei nenhuma item

@edit , acho que encontrei o erro , que foi dizer que as duas circunferências mais acima estão bem em cima do raio da maior , quando ele está a 2/3 da altura do triangulo ( propriedade da mediana ) mais o raio de uma circunferência

2/3 * r(V3) + r = R

2rV3/3 + r =R

2rV3+3r=3R

r(2V3 + 3 ) =3R

R/r = (2V3 + 3)/3

por Ferrus Ter 03 Jan 2012, 13:41

Eu acho que o centro do círculo maior não deve estar na mesma reta que o centro dos outros 2 círculos menores.

No gabarito a correta é a letra c.

por Ferrus Ter 03 Jan 2012, 13:50

Valeu!

por **Jose Carlos** Ter 03 Jan 2012, 14:12

Tentei assim:

pelo desenho

R = r + x onde x = distância do centro do círculo interno até centro do círculo maior.

Unindo-se os centros dos círculos menore temos um triângulo equilátero de lado 2r.

h = (2r*\/3)/2 -> h = r*\/3

x = (2/3)*h -> x = (2/3)*r*\/3 = (2*\/3*r)/3

R = r + [(2*\/3*r)/3] = ( 3*r + 2*\/3*r )/3

R = ( 3 + 2*\/3 )/3