Razão entre os raios

M, N e P são os pontos médios dos lados de um triangulo ABC. Achar a razão entre os raios dos circulos circunscritos aos triangulos MNP e ABC.

gabarito: 1/2

Como o problema vale para QUALQUER triângulo, vou escolher um triângulo retângulo, para facilitar a demonstração:

Desenhe um semicírculo de diâmetro BC = 2R e centro O ----> OB = OC = R
Escolha um ponto qualquer A da semi-circunferência e construa o triângulo retângulo ABC (Â = 90º)
Seja AC = b e AC = b
Sejam M e N os pontos médios de A e AC, respectivamente ----> AM = BM = c/2 ----> AN = CN = b/2
Trace OM = b/2 e ON = c/2
Encontre o centro P do retângulo OMAN
Por P trace perpendiculares PU e PV aos lados OM e ON do retângulo ---> PU = c/4 ---> PV = b/4
OP = r (raio do círculo inscrito no triângulo ABC)

BC² = AB² + AC² ----> (2R)² = c² + b² ----> 4R² = b² + c² ----> R = \/(b² + c²)/2

OP² = PU² + PV² ----> r² = (c/4)² + (b/4)² ----> r² = (b2 + c²)/16 -----> r = \/(b² + c²)/4

r/R = 1/2