Razão entre raios de círculos

por Leví_reg Qui 16 Fev 2017, 20:10

Determine a razão entre o raio do círculo circunscrito e o raio do círculo inscrito em um triângulo ABC isósceles de base BC=a, sendo 120° o ângulo do vértice do triângulo.

Spoiler:

por **Elcioschin** Qui 16 Fev 2017, 23:36

por igorrudolf Qui 16 Fev 2017, 23:53

Olá, boa noite!

Observe a figura que tentei fazer e note que BC = a e como o triângulo é isósceles (todos os pontos notáveis são colineareas) CD = BD = a/2

Além disso R = raio da circunscrita e r = raio da inscrita.

Razão entre raios de círculos Questa11

Queremos a razão R/r. Segue:

Pela lei dos cossenos em OCB:

a² = R²+R²-2.R.R.cos120°
a² = 2R²-2.R.R.(-1/2)
a² = 3R² ∴ $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Agora olhando para CID:

$\tan (15)= \frac{r}{(\frac{a}{2})}$

$r=\frac{a}{2}\times \tan (15)$

tan(15º) = sin (15º)/cos(15º) (use sin(45º-30º) e cos (45º-30º)
tan(15º) = 2-√3

$r=\frac{(2-\sqrt{3})a}{2}$

$\frac{R}{r}= \frac{a\sqrt{3}}{3}\times \frac{2}{(2-\sqrt{3})a}\therefore \frac{R}{r}=\frac{2(2\sqrt{3}+3)}{3}$

Qualquer coisa só perguntar