Trigonometria no triângulo retângulo

Olá, amigos, estou precisando de uma ajuda no seguinte exercício:

(UFV-MG) Um passageiro em um avião avista duas cidades A e B sob ângulos de
15º e 30º, respectivamente, conforme a figura abaixo.



Se o avião está a uma altitude de 3 km, a distância entre as cidades A e B
é:
a) 7 km
b) 5,5 km
c) 5 km
d) 6,5 km
e) 6 km

A princípio, pensei que seria bem fácil resolvê-lo, porém, eu não consegui chegar à resposta.





Gabarito: C

Para saber a distância do avião até a cidade B é fácil. O ângulo entre a reta do olhar do observador e o chão é de 30º. Temos o cateto oposto como 3 km e queremos descobrir o cateto adjacente.
tg 30º = 3 / x = V3 / 3 -> V3x = 9 -> x = 9V3 / 3 = 3V3 km

Agora, para descobrir a distância do avião até a cidade A é um pouco mais complicado. Mas nada muito difícil, basta sabermos como é que se pega a tangente da subtração de dois ângulos.
tg (45º - 30º) = (tg 45º - tg 30º) / [1 + (tg 45º * tg 30º)] = [1 - (V3 / 3)] / [1 + (V3 / 3)] = [(3 - V3) / 3] / [(3 + V3) / 3] = (9 - 3V3) / (9 + 3V3)
E aplicar...
(9 - 3V3) / (9 + 3V3) = 3 / x -> (9 - 3V3)x = 27 + 9V3 -> x = (27 + 9V3) / (9 - 3V3) = 3(9 + 3V3) / 3(3 - V3) = (9 + 3V3) / (3 - V3) = [Radiciação] = (27 + 9V3 + 9V3 + 9) / (9 - 3) = (18V3 + 36) / 6 = 3V3 + 6 km

E a diferença entre ambos é de...
3V3 + 6 - 3V3 = 6 km
Letra E.


PS.: Quando vi o resultado, eu quase desisti de postar a resolução, mas eu acabei postando porque deu trabalho fazê-la. XD
Se tiver algo errado, corrijam-me, por favor. =]


Espero ter ajudado. ^_^

Concordo com seus cálculos Agente, também achei 6 km.

Indicando como a distância de A para B, temos que:



Acredito que essa questão seja de algum livro ou apostila e a letra c), como resposta, foi fruto de erro de digitação.

kkkkkkkkkkkkkkkk

Perfeito, Abelardo!!

(Também fiz como a Agente Esteves)

Muito obrigado!

Obrigado pessoal!

O do Abelardo ficou extremamente mais simples. XD
Obrigada por postar essa resposta. =]

Não precisa agradecer senhorita Esteves :tiv: . Mais de uma solução para uma questão, seja qual for o seu tamanho, é muito importante e enriquecedor para todos!

Tracejando um linha perpendicular a base, sobre a cidade B iremos encontrar o ângulo B, que é = 60º (ângulo encontrado) + 90º (ângulo reto formado com a base) = 150º
Ângulo B encontrado, agora é só descobrir os outros, sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Com isso, ângulo A = 15º e o ângulo suplementar de 150º q é igual a 30º.
Há uma fórmula para esse caso, em um ângulo é X e o outro 2x -> H= a. sen2X
                                                                                            3= a . sen30º
                                                                                            3= a . 1/2  
                                                                                            a= 6


Obs.: Fórmulas para X= 45º e B= 60º  -> h=a.(RQ 3 + 3)/2      e também  X= 60º e B= 45º  -> h= a.(RQ 3 + 1)/2

RQ= raiz quadrada de...
h= altura
a= distância entre pontos A e B