Área dos retângulos

por Iuri Braz de Oliveira Qua 28 Dez 2011, 11:30

(UFES-ES) Na figura a seguir, o triângulo ABC é equilátero de lado igual a 1.

Área dos retângulos 40028812

Considere o retângulo com dois vértices sobre a base BC e cujos outros dois vértices, B1 e C1, são os pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. No triângulo AB1C1, considere o retângulo com dois vértices sobre a base B1C1 e cujos outros dois vértices, B2 e C2, são os pontos médios dos lados AB1 e AC1, respectivamente. Continuando este processo indefinidamente, obtém-se uma sequência de retângulos. A soma das áreas totais de todos os retângulos assim obtidos é igual a:

a) √3/24
b) √3/12
c) √3/8
d) √3/6
e) √3/3

Gabarito: letra "d".

por faraday Qua 28 Dez 2011, 13:29

Antes de tudo saiba que isso vai dá uma Pg infinita
P=vertice esquerdo do quadrilátero maior , I=Vertice direito do quadrilátero maior
W= vertice esquerdo do segundo quadrilátero maior M = vertice direito do segundo quadrilátero maior

pegando o triângulo BB1P e o quadrilátero B1C1IP

(V3/2)=B1P/(L/2)

LV3/2=2x
B1P=LV3/4

1/2 = BP/(L/2)

L/2=2BP
BP=L/4

o triângulo C1CP são congruentes , logo BP = L-(L/4)*2= L/2

área do primeiro quadrilátero

L/2 * LV3/4 = L²V3/8

agora o triângulo B2B1W e o quadrilátero B2C2WM

o Lado B2B1= L/2 * 1/2 = L/4

V3/2 = B2W/L/4

LV3/4 = 2 B2W
B2W=LV3/8

a base B1C1 mede L/2

e o lado B1W e C1M são congruentes :

a base do triângulo B1 e M e C1 W são congruentes
e valem L/8

logo a base do quadrilátero vale : L/2 - (L/ Cool