Iezzi 3 volumes triângulo retangulo exercício 35

Na figura, aparecem o triângulo equilátero ABC, de 6 cm de lado, e o quadrado BCDE, sendo F o pé de uma altura do triângulo ABC.

a) Tome G sobre CE, de modo que o triângulo CFG seja retângulo. Determine a medida de EG.

b) Sendo H o ponto médio de AF, determine a medida de EH.



Gabarito: a) 3√2 cm ou 9√2/2 cm
b) 3/2*√(23+8√3)

a) Se AFG é triângulo retângulo, o ângulo reto cai sobre F ou G. No primeiro caso (que o é que você desenhou sobre a figura), G acaba por ser o centro do quadrado, então EG é metade da diagonal -> EG = 1/2 L√2 = 3√2. Senão, caso G contemple o ângulo reto, a hipotenusa de CFG é FC = 3, mas esse triângulo é isósceles (porque EC é diagonal e, então o ângulo C é de 45°) => GC√2 = 3 <=> CG = 3√2/2. Ora, EG = EC - CG = 6√2 - 3√2/2 = 9√2/2.

b) H está à media altura de AF = 6√3/2 = 3√3 -> FH = 3√3/2. Sei que da base inferior do quadrado a H tenho o lado do quadrado, que é 6 => KH = 6 + 3√3/2. Daí, Pitágoras e fé:
EH² = EK² + KH² = 3² + (6 + 3√3/2)² = 9 + 36 + 18√3 + 27/4 = (207 + 72√3)/4 = 9/4 (23 + 8√3). Tira a raiz, dá EH = 3/2 (23 + 8√3).