Número de Euler e Derivação Implícita

Giovana Martins escreveu:

Sobre a derivada implícita, a ideia é a seguinte: digamos que alguém te peça para calcular a derivada da função f(x) = x² + 6x + 3. Até aqui a tarefa é bem simples. É só usar a regra da potência. 

Agora, digamos que alguém peça para você calcular a derivada da função f(x) sendo f(x) definida por x³ = 6xf(x) - [f(x)]³, que é o mesmo que x³ = 6xy - y³. Neste último caso já não é algo tão trivial, porque na forma habitual de calcular a derivada da função você já recebe a função f(x) escrita em termos da variável x, isto é, f(x) está isolado e você só precisa aplicar as regras de derivação. Entretanto, note que não é fácil explicitar f(x) em termos da variável x para que posteriormente possamos aplicar as regras de derivação. É aqui que surge a ideia da derivada implícita. Este nome surge, porque neste caso estamos lidando com uma função f(x) que é definida de forma implícita por uma relação entre x e y.

Por sua vez, no exemplo inicial, f(x) é definida de forma explícita, isto é, f(x) = x² + 6x + 3 é definida em termos da variável x.

Calculando a derivada da função f(x) do segundo exemplo que eu dei, você obtém:

\[\mathrm{x^{3} = 6xf(x) - [f(x)]^{3}\to \frac{d}{dx}(x^3)=\frac{d}{dx}[6xf(x)]-\frac{d}{dx}\left\{[f(x)]^{3} \right\}} \]

\[\mathrm{3x^{2}=6\left [ f(x)\frac{d}{dx}(x)+x\frac{df(x)}{dx} \right ]-3[f(x)]^{2}\frac{df(x)}{dx}} \]

\[\mathrm{ 3x^{2}=6f(x)+\left\{ 6x-3[f(x)]^{2}\right\}\frac{df(x)}{dx}\ \therefore\ \frac{df(x)}{dx}=\frac{3x^{2}-6f(x)}{6x-3[f(x)]^{2}}=\frac{x^{2}-2y}{2x-y^{2}}} \]

Nota: para calcular a derivada da função [f(x)]³ eu utilizei a regra da cadeia.

Quanto ao número de Euler e sua origem, não tenho grandes conhecimentos que vá contribuir com algo na discussão. Talvez algum membro possa dar melhores explicações. Entretanto, quanto a esta dúvida acredito que o recomendável seja buscar por livros ou até mesmo no YouTube (de preferência em inglês).